2021届高三数学第一轮复习北师大版-课时作业13-Word版含解析.docx

课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题5分，共40分)1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案：C2曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：由于y，所以，在点(1，1)处的切线斜率ky|x12，所以，切线方程为y12(x1)，即y2x1，故选A.答案：A3在函数yx39x的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是()A0 B1C2 D3解析：依题意得，y3x29，令0y1得3x20，方程有解f(x)x1或f(x)x2结合图像有3个交点答案：A8(2022山西阳泉一模，7)直线yxb是曲线ylnx(x0)的一条切线，则实数b的值为()A2 Bln21Cln21 Dln2解析：ylnx的导数为y，解得x2，切点为(2，ln2)将其代入直线yxb得bln21.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)9(2022柳州模拟)已知函数f(x)2xsinx，则当x时，其导函数的值为_解析：f(x)2sinx2xcosx，f()2sin2cos2.答案：210(2022广东，12)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_解析：由yx3x3得y3x21，切线的斜摔为ky|x131212，切线方程为y32(x1)，即2xy10.答案：2xy1011(2021江西，13)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.解析：f(ex)xex，f(x)xlnx，f (x)1，f(1)112.答案：2三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)假如曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f (x)(x3x16)3x21.f (x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf (2)13.切线的方程为y13(x2)(6)即y13x32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f (x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016，又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k，又kf (x0)3x1，3x1，解之得x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线yx3垂直，切线的斜率k4.设切点R 坐标为(x0，y0)，则f (x0)3x14，x01，或切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.13(1)已知函数f(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x2y30，求a，b的值(2)已知曲线yx3.求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求曲线过点P(2,4)的切线方程解：(1)f(x).由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)故即解得a1，b1.(2)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率为：y|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x)，则切线的斜率为：y|xx0x.切线方程为y(x)x(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.14设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(3)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)解：方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f(x)1知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0得，y，从而得切线与直线x0交点坐标为(0，)令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，此定值为6.