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课时作业13 变化率与导数、导数的计算
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．
答案：C
2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：由于y′＝，所以，在点(－1，－1)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝＝2，所以，切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1，故选A.
答案：A
3．在函数y＝x3－9x的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：依题意得，y′＝3x2－9，令0≤y′<1得3≤x2<，明显满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y＝x3－9x的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，则横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.
答案：A
4．(2022·成都一模)曲线y＝ax3＋bx－1在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，则b－a＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．4
解析：由题意得，函数在x＝1处的切线斜率为1，且切点为(1,1)．y′＝3ax2＋b，故解得
即b－a＝3，故选C.
答案：C
5．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A．[0，)∪[，π) B．[0，)∪[，π)
C．[，π) D．(，]
解析：由于tanα＝y′＝3x2－≥－，又α∈[0，π)，故α∈[0，)∪[，π)．
答案：A
6．(2022·郑州模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,2)，则ab＝( )
A．－8 B．－6
C．－1 D．5
解析：由题意得y＝kx＋1过点A(1,2)，∴2＝k＋1，即k＝1.∵曲线y′＝3x2＋a，又∵直线y＝kx＋1与曲线相切于点(1,2)，∴y′|x＝1＝3＋a＝k＝1，∴a＝－2，将点(1,2)代入曲线方程y＝x3＋ax＋b，解得b＝3.∴ab＝(－2)3＝－8.故选A.
答案：A
7．(2021·安徽，10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b存在2个数值．
∴Δ＝4a2－12b>0，
∴方程有解．
∵f(x)＝x1或f(x)＝x2结合图像有3个交点．
答案：A
8．(2022·山西阳泉一模，7)直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln2＋1
C．ln2－1 D．ln2
解析：∵y＝lnx的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2，∴切点为(2，ln2)．将其代入直线y＝x＋b得b＝ln2－1.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2022·柳州模拟)已知函数f(x)＝2xsinx，则当x＝时，其导函数的值为________．
解析：f′(x)＝2sinx＋2xcosx，
∴f′()＝2sin＋2··cos＝2.
答案：2
10．(2022·广东，12)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：由y＝x3－x＋3得y′＝3x2－1，
∴切线的斜摔为k＝y′|x＝1＝3×12－1＝2，
∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
11．(2021·江西，13)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析：∵f(ex)＝x＋ex，∴f(x)＝x＋lnx，f ′(x)＝1＋，
∴f′(1)＝1＋1＝2.
答案：2
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)假如曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f ′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)．
即y＝13x－32.
(2)法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f ′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1，
解之得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点R 坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，∴或
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.
13．(1)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值．
(2)已知曲线y＝x3＋.
①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
②求曲线过点P(2,4)的切线方程．
解：(1)f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)．
故
即解得a＝1，b＝1.
(2)①∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为：y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
②设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x＋)，则切线的斜率为：y′|x＝x0＝x.
∴切线方程为y－(x＋)＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解：(1)解：方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.
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