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第2课时 动能定理及应用
[知 识 梳 理]
学问点一、动能
1．定义：物体由于运动而具有的能叫动能。
2．公式：Ek＝mv2。
3．单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2。
4．矢标性：动能是标量，只有正值。
5．状态量：动能是状态量，由于v是瞬时速度。
学问点二、动能定理
1．内容：合外力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2．表达式：W＝mv－mv或W＝Ek2－Ek1。
3．物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度。
4．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。
思维深化
推断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。
(1)肯定质量的物体动能变化时，速度肯定变化，但速度变化时，动能不肯定变化。( )
(2)动能不变的物体，肯定处于平衡状态。( )
(3)假如物体所受的合外力为零，那么，合外力对物体做的功肯定为零。( )
(4)物体在合外力作用下做变速运动，动能肯定变化。( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
[题 组 自 测]
题组一 对动能及动能定理的理解
1．关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是( )
A．合外力为零，则合外力做功肯定为零
B．合外力做功为零，则合外力肯定为零
C．合外力做功越多，则动能肯定越大
D．动能不变，则物体合外力肯定为零
解析 合外力为零，则物体可能静止，也可能做匀速直线运动，这两种状况合外力做功均为零，所以合外力做功肯定为零，A对；合外力做功为零或动能不变，合外力不肯定为零，如匀速圆周运动，故B、D错；合外力做功越多，动能变化越大，而不是动能越大，故C错。
答案 A
2．(多选)关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是( )
A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B．公式中的W为包含重力在内的全部力做的功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合外力再求合外力的功
C．公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W＞0时动能增加，当W＜0时，动能削减
D．动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功
解析 公式中ω指总功，求总功的方法有两种，先求每个
力做的功再求功的代数和或先求合力再求合外力的功，故选项B正确，A错误；当W>0时，末动能大于初动能，动能增加，当W<0时，末动能小于初动能，动能削减，故C正确；动能定理不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动，不仅适用于恒力做功，也适用于变力做功，故D错误。
答案 BC
题组二 动能定理的应用
3．子弹的速度为v，打穿一块固定的木块后速度刚好变为零。若木块对子弹的阻力为恒力，那么当子弹射入木块的深度为其厚度的一半时，子弹的速度是( )
A. B.v C. D.
解析 设子弹的质量为m，木块的厚度为d，木块对子弹的阻力为f。依据动能定理，子弹刚好打穿木块的过程满足－fd＝0－mv2。设子弹射入木块厚度一半时的速度为v′，则－f·＝mv′2－mv2，得v′＝v，故选B。
答案 B
4.如图1所示，质量为m的小球，在离地面H高处由静止释放，落到地面后连续陷入泥中h深度而停止，设小球受到的空气阻力为f，则下列说法正确的是( )
图1
A．小球落地时动能等于mgH
B．小球陷入泥中的过程中克服泥的阻力所做的功小于刚落到地面时的动能
C．整个过程中小球克服阻力做的功等于mg(H＋h)
D．小球在泥土中受到的平均阻力为mg(1＋)
解析 依据动能定理得mgH－fH＝mv，A错误；设泥的阻力为f0，小球陷入泥中的过程中依据动能定理得mgh－f0h＝0－mv，解得 f0h＝mgh＋mv，f0＝mg(1＋)－，B、D错误；全过程运用动能定理知，整个过程中小球克服阻力做的功等于mg(H＋h)，C正确。
答案 C
考点一 动能定理的理解及应用
1．做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中的“＝”的意义是一种因果关系在数值上相等的符号。
2．动能定理叙述中所说的“外力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力。
3．动能定理中涉及的物理量有F、s、m 、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的问题时，优先考虑使用动能定理。
4．若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑。
【例1】 如图2所示，质量为m的滑块从h高处的a点沿倾斜轨道ab滑入水平轨道bc(两轨道平滑连接)，滑块与倾斜轨道及水平轨道间的动摩擦因数相同。滑块在a、c两点时的速度大小均为v、ab长度与bc长度相等。空气阻力不计，则滑块从a到c的运动过程中( )
图2
A．滑块的动能始终保持不变
B．滑块在bc过程克服阻力做的功肯定等于mgh/2
C．滑块经b点时的速度大于
D．滑块经b点时的速度等于
解析 由题意知，在滑块从b运动到c的过程中，由于摩擦力做负功，动能在削减，所以A错误；从a到c的运动过程中，依据动能定理：mgh－Wf＝0，可得全程克服阻力做功Wf＝mgh，因在ab段、bc段摩擦力做功不同，故滑块在bc过程克服阻力做的功肯定不等于mgh/2，所以B错误；滑块对ab段轨道的正压力小于对bc段的正压力，故在ab段滑块克服摩擦力做的功小于在bc段克服摩擦力做的功，即从a到b克服摩擦力做的功Wf′＜mgh，设在b点的速度为v′，依据动能定理：mgh－Wf′＝mv′2－mv2，可得v′＞，故C正确，D错误。
答案 C
1．应用动能定理解题应抓好“两状态，一过程”
“两状态”即明确争辩对象的始、末状态的速度或动能状况，“一过程”即明确争辩过程，确定这一过程争辩对象的受力状况和位置变化或位移信息。
2．应用动能定理解题的基本思路
【变式训练】
1.如图3所示，木盒中固定一质量为m的砝码，木盒和砝码在桌面上以肯定的初速度一起滑行一段距离后停止。现拿走砝码，而持续加一个竖直向下的恒力F(F＝mg)，若其他条件不变，则木盒滑行的距离( )
图3
A．不变 B．变小
C．变大 D．变大变小均可能
解析 设木盒质量为M，木盒中固定一质量为m的砝码时，由动能定理可知，μ(m＋M)gs1＝(M＋m)v2，解得s1＝；加一个竖直向下的恒力F(F＝mg)时，由动能定理可知，μ(m＋M)gs2＝Mv2，解得s2＝。明显s2＜s1。故选项B正确。
答案 B
考点二 动能定理在多过程中的应用
【例2】 一质量m＝0.6 kg的物体以v0＝20 m/s的初速度从倾角为30°的斜坡底端沿斜坡向上运动。当物体向上滑到某一位置时，其动能削减了ΔEk＝18 J，机械能削减了ΔE＝3 J，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)物体向上运动时加速度的大小；
(2)物体返回斜坡底端时的动能。
第一步：读题猎取信息
其次步：选规律列方程
规范解答 (1)设物体在运动过程中所受的摩擦力大小为f，物体动能削减ΔEk时，在斜坡上运动的距离为s，由动能定理和功能关系得－mgsin 30°·s－f s＝－ΔEk①
－f s＝－ΔE②
由牛顿其次定律得mgsin 30°＋f＝ma③
联立①②③式并代入数据可得a＝6 m/s2④
(2)设物体沿斜坡向上运动的最大距离为sm，由运动学规律可得v＝2asm⑤
设物体返回底端时的动能为Ek，由动能定理有
mgsin 30°·sm－f sm＝Ek－0⑥
联立④⑤⑥式并代入数据可得Ek＝80 J
答案 (1)6 m/s2 (2)80 J
【变式训练】
2.在赛车场上，为了平安起见，车道外围都固定上废旧轮胎作为围栏，当车碰撞围栏时起缓冲器作用。在一次模拟试验中用弹簧来代替废旧轮胎，试验情景如图4所示，水平放置的轻弹簧左侧固定于墙上，处于自然状态，开头赛车在A处且处于静止状态，距弹簧自由端的距离为L1＝1 m。当赛车启动时，产生水平向左的恒为F＝24 N的牵引力使赛车向左匀加速前进，当赛车接触弹簧的瞬间马上关闭发动机，赛车连续压缩弹簧，最终被弹回到B处停下。已知赛车的质量为m＝2 kg，A、B之间的距离为L2＝3 m，赛车被弹回的过程中离开弹簧时的速度大小为v＝4 m/s，水平向右。g取10 m/s2。求：
图4
(1)赛车和地面间的动摩擦因数；
(2)弹簧被压缩的最大距离。
解析 (1)从赛车离开弹簧到B点静止，由动能定理得
－μmg(L1＋L2)＝0－mv2
解得μ＝0.2。
(2)设弹簧被压缩的最大距离为L，从赛车加速到离开弹簧，由动能定理得
FL1－μmg(L1＋2L)＝mv2
解得L＝0.5 m。
答案 (1)0.2 (2)0.5 m
考点三 动能定理与图像结合问题
【例3】 如图5甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面AB的A处连接一粗糙水平面OA，OA长为4 m。有一质量为m的滑块，从O处由静止开头受一水平向右的力F作用。F只在水平面上按图乙所示的规律变化。滑块与OA间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s2，试求：
图5
(1)滑块运动到A处的速度大小；
(2)不计滑块在A处的速率变化，滑块冲上斜面AB的长度是多少？
解析 (1)由题图乙知，在前2 m内，F1＝2mg做正功，在第3 m内，F2＝－0.5mg，做负功，在第4 m内，F3＝0，滑动摩擦力f＝－μmg＝－0.25mg，始终做负功，对于滑块在OA上运动的全过程，由动能定理得：
F1s1＋F2s2＋fs＝mv－0
即2mg×2－0.5mg×1－0.25mg×4＝mv
解得vA＝5 m/s
(2)对于滑块冲上斜面的过程，由动能定理得
－mgLsin 30°＝0－mv
解得：L＝5 m
所以滑块冲上斜面AB的长度L＝5 m
答案 (1)5 m/s (2)5 m
图像所围“面积”的意义
(1)v－t图：由公式s＝vt可知，v－t图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移。
(2)a－t图：由公式Δv＝at可知，a－t图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量。
(3)F－s图：由公式W＝Fs可知，F－s图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功。
(4)P－t图：由公式W＝Pt可知，P－t图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功。
【变式训练】
3．一质量为m的物体在水平恒力F的作用下沿水平面运动，在t0时刻撤去力F，其v－t图像如图6所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，则下列关于力F的大小和力F做功W的大小关系式正确的是( )
图6
A．F＝μmg B．F＝2μmg
C．W＝μmgv0t0 D．W＝μmgv0t0
解析 在t0时刻前，F－μmg＝m，在t0时刻以后，－μmg＝－m，由以上两式可得F＝3μmg，因此选项A、B均不正确；在0至t0时间内，W－μmg·v0t0＝mv，在t0至3t0时间内，－μmg·v0(2t0)＝－mv，因此力F做的功为W＝μmgv0t0，选项C错误，选项D正确。
答案 D
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