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1．(2021·广州模拟)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C．将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有12，13，20，21，30，31，共6个，两位数为奇数的有13，21，31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为＝．
2．(2022·高考陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．取两个点的全部状况有10种，两个点距离小于正方形边长的状况有4种，所以所求概率为＝．故选B．
3．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B．∵以1为首项，－3为公比的等比数列中的10个数为1，－3，9，－27，81，－243，729，－2 187，6 561，－19 683，其中有5个负数，1个正数1，共6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是＝．
4．(2021·亳州高三质检)已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C．易知过点(0，0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为＝．
5．(2021·东北三校高三模拟)一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C．由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；
同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；
由1，3，4组成的三位自然数也是6个；
由2，3，4组成的三位自然数也是6个．
所以共有6＋6＋6＋6＝24个．
当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”．
当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．
∴三位数为“凹数”的概率P＝＝．
6．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
解析：两本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b表示，则Ω＝{(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)}．于是两本数学书相邻的状况有4种，故所求概率为＝．
答案：
7．(2021·吉林试验中学第一次阶段检测)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
解析：依据题意，可得x的状况有6种，y的状况也有6种，则骰子朝上的点数分别为x，y的状况有36种，若log2xy＝1，则y＝2x，其状况有1、2，2、4，3、6共3种，则满足log2xy＝1的概率是＝，故答案为．
答案：
8． 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点．在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F．设G为满足向量＝＋的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为________．
解析：基本大事的总数是16，在＝＋中，当＝＋，＝＋，＝＋，＝＋时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余状况的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－＝．
答案：
9．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面对量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得大事“a⊥b”发生的概率；
(2)求使得大事“|a|≤|b|”发生的概率．
解：(1)由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}，故(m，n)全部可能的取法共36种．
使得a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3，1)、(6，2)，所以大事a⊥b的概率为＝．
(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10．
共有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)6种使得|a|≤|b|，其概率为＝．
10．(2022·高考山东卷)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)由于样本容量与总体中的个体数的比是
＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1，150×＝3，100×＝2．
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2．
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：
A；B1，B2，B3；C1，C2．
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的全部基本大事为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本大事的毁灭是等可能的．
记大事D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则大事D包含的基本大事有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为．
1．(2021·合肥二检)从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参与某公益活动，每天一人，则星期六支配一名男生、星期日支配一名女生的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．设两名女生为a1，a2，两名男生为b1，b2，则全部可能如下：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，b1)，(b2，a1)，(b2，a2)，共12种，其中星期六支配一名男生、星期日支配一名女生包括4种状况，所以其概率为P＝＝，故选A．
2．(2021·陕西质检)连掷两次骰子得到的点数依次为m和n，若记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－2)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________．
解析：依题意，θ为锐角，则a·b＞0，则m－2n＞0，m＞2n连续掷两次骰子的全部可能结果为36种，其中满足m＞2n的有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6种，所以所求概率为＝．
答案：
3．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5)和一个正四周体(四个面上分别标有数字1，2，3，4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四周体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋bi．
(1)若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；
(2)求大事“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的概率．
解：(1)A＝{6i，7i，8i，9i}．
(2)满足条件的基本大事的个数为24．
设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的大事为B．
当a＝0时，b＝6，7，8，9满足a2＋(b－6)2≤9；
当a＝1时，b＝6，7，8满足a2＋(b－6)2≤9；
当a＝2时，b＝6，7，8满足a2＋(b－6)2≤9；
当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9．
即B为(0，6)，(0，7)，(0，8)，(0，9)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，6)共计11个．
所以所求概率P＝．
4．在APEC会议期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示大事“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x＜y”．
(1)共有多少个基本大事？并列举出来；
(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．
解：(1)共有36个基本大事，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)．
(2)记大事“所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11”为大事A，即大事A为“x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x＋y＜17，其中x＜y”，由(1)可知大事A共含有15个基本大事，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)．“所抽取的两名记者都是男记者”记作大事B，则大事B为“x，y∈{1，2，3，4，5}，且x＜y”，包含(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．故P(A)＋P(B)＝＋＝．
5．已知集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}，Q＝{y|y＝2n－1，1≤n≤2，n∈N*}，M＝P∪Q．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，试计算：
(1)点A正好在第三象限的概率；
(2)点A不在y轴上的概率；
(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的概率．
解：由集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}可得P＝{－6，－4，0}，由Q＝{y|y＝2n－1，1≤n≤2，n∈N*}可得Q＝{1，3}，则M＝P∪Q＝{－6，－4，0，1，3}，由于点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，所以满足条件的点A的全部状况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6，0)，(－6，1)，(－6，3)，…，(3，3)，共25种．
(1)点A正好在第三象限的可能状况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A正好在第三象限的概率P1＝．
(2)点A在y轴上的可能状况为(0，－6)，(0，－4)，(0，0)，(0，1)，(0，3)，共5种，故点A不在y轴上的概率P2＝1－＝．
(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的可能状况为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(3，1)，(1，3)，(3，0)，(0，3)，(1，1)．共8种，故点A落在区域x2＋y2≤10上的概率P3＝．
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