2021年高中数学人教A版必修4练习：3.2-检测-简单的三角恒等变换-Word版含答案.docx

第三章　3.2

学问点及角度
难易度及题号
基础
中档
稍难
半角公式及应用
1、2、3
8

化简求值、证明问题
5
6、9、11

与三角函数性质有关问题
4
7、10
12

1．已知cos＝，540°<α<720°，则sin等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C．－　 D．－
解析：∵540°<α<720°，
∴270°<<360°，135°<<180°.
∴sin＝＝.
答案：A
2．已知2sin α＝1＋cos α，则tan等于(　　)
A. B.或不存在
C．2 D．2或不存在
解析：由2sin α＝1＋cos α，即4sincos ＝2cos2，当cos＝0时，则tan不存在，若cos≠0，则tan＝.
答案：B
3．已知tan＝3，则cos α＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：cos α＝cos2－sin2＝＝＝＝－.
答案：B
4．已知函数f(x)＝sin[(1－a)x]＋cos[(1－a)x]的最大值为2，则f(x)的最小正周期为________．
解析：∵f(x)＝sin[(1－a)x＋φ]，
由已知得＝2，∴a＝3.
∴f(x)＝2sin(－2x＋φ)．∴T＝＝π.
答案：π
5．若tan x＝，则＝______.
解析：原式＝＝＝
＝
＝2－3.
答案：2－3
6．化简sin2x＋cos 2x.
解：原式＝sin2 x＋cos 2x
＝sin2 x·＋cos 2x
＝sin2 x·＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.

7．函数y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值是(　　)
A．1＋ B.－1
C. D．2
解析：y＝2sin2x＋2sin x·cos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，
ymax＝1＋.
答案：A
8．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于(　　)
A．－ B.
C．2 D．－2
解析：∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－.
∴＝＝
＝·
＝＝＝－.
答案：A
9．化简：··＝________.
解析：原式＝··＝·＝·＝＝tan.
答案：tan
10．设θ∈[0,2π]，＝(cos θ，sin θ)，＝(3－cos θ，4－sin θ)．则P1、P2两点间距离的取值范围是______．
解析：∵＝－＝(3－2cos θ，4－2sin θ),
∴||2＝(3－2cos θ)2＋(4－2sin θ)2
＝29－12cos θ－16sin θ＝29－20cos(θ＋α)．
∴3≤||≤7.
答案：[3,7]
11．求证：＝.
证明：原式等价于1＋sin 4θ－cos 4θ＝(1＋sin 4θ＋cos 4θ)．
即1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)．(*)
而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ)
＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)
＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ
＝sin 4θ＋1－cos 4θ
＝左边．
所以(*)式成立，原式得证．

12．如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
解：过点B作BH⊥OA，垂足为H.

设∠OAD＝θ，则∠BAH＝－θ，
OA＝2cos θ，
BH＝sin ＝cos θ，
AH＝cos ＝sin θ，

∴B(2cos θ＋sin θ，cos θ)，
OB2＝(2cos θ＋sin θ)2＋cos2 θ
＝7＋6cos 2θ＋2sin 2θ＝7＋4sin .
由0＜θ＜，知＜2θ＋＜，
∴当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.

1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．挂念角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝.
3．争辩形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用挂念角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此挂念角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一，对一些特殊的系数a、b应娴熟把握，例如sin x±cos x＝sin；sin x±cos x＝2sin等．