2022届高三数学一轮总复习基础练习：第七章-立体几何7-7-2-.docx

其次课时　空间角的求法
时间：45分钟　分值：100分

一、选择题
1．(2021·滨州模拟)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)
A. B.
C. D.

解析　设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝.
答案　B
2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.

解析　建立空间直角坐标系如图．
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．
＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
答案　B
3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　如图建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，
明显AC⊥平面BB1D1D，
∴＝(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量．

又＝(0,4,2)，
∴cos〈，〉
＝
＝＝.
即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.
答案　C
4．在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F，

∴＝(0,0，－2)，
＝，
＝.设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则由
得

取z＝1，则n＝(2,0,1)，设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝＝，∴PA与平面DEF所成角的正弦值为，故选C.
答案　C

5．如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B—AC—M的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.

解析　∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，PA⊥AD，
又PA⊥AB，且AD∩AB＝A，∴PA⊥平面ABCD.
以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
A—xyz.
则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，∴＝(2,1,0)，＝，
求得平面AMC的一个法向量为n＝(1，－2，1)，
又平面ABC的一个法向量＝(0,0,2)，
∴cos〈n，〉＝＝＝＝.∴二面角B—AC—M的余弦值为.
答案　A
6．二面角的棱上有A，B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)
A．150° B．45°
C．60° D．120°
解析　由题意知与所成角即为该二面角的平面角．
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∴(2)2＝62＋42＋82＋2||||cos〈，〉
＝116＋2×6×8cos〈，〉．
∴cos〈，〉＝－，∴〈，〉＝120°.
∴〈，〉＝60°，∴该二面角的大小为60°.
答案　C
二、填空题

7．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．
解析　建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，

则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，
则＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)．
所以·＝2.
所以cos〈，〉
＝＝.
所以EF和BC1所成角为60°.
答案　60°

8．如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，侧棱AA1＝，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为________．
解析　以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则平面AA1C1C的法向量为n＝(0,1,0)，＝－(1,0，)＝，则直线AM与平面AA1C1C所成角θ的正弦值为sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，∴tanθ＝.
答案　
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值的________．
解析　

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，
则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，
∴＝(0,1，－1)，＝，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
则∴∴n1＝(1,2,2)．
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝.
即所成的锐二面角的余弦值为.
答案　
三、解答题

10．如图，在直三棱柱A1B1C1—ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．

解　(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
由于cos〈，〉
＝＝
＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，由于＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cosθ|＝＝＝，得sinθ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.

11．如图，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D.
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

解　(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t，1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，
＝(－t,3,0)，
由于AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，
解得t＝或t＝－(舍去)．
于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．
由于·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，
即AC⊥B1D.
(2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，
则即
令x＝1，则n＝(1，－，)．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.

1．(2022·浙江卷)如图，在四棱锥A—BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.
(1)证明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角B—AD—E的大小．
解　(1)易得在平面四边形BCDE中，BC＝，在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝.依据勾股定理逆定理得AC⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BCDE，而平面ABC∩平面BCDE＝BC，AC⊥BC，∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥DE.
又AC⊥DE，DE⊥DC，∴DE⊥平面ACD.
(2)由(1)知分别以，为x轴、z轴的正方向，以过C平行于为y轴正向建立坐标系．
则B(1,1,0)，A(0,0，)，D(2,0,0)，E(2,1,0)，
∴＝(1,1，－)，＝(2,0，－)，＝(0,1,0)，
设平面ABD法向量n1＝(x1，y1，z1)，
由n1·＝n1·＝0，解得一个n1＝(1,1，)，
设平面ADE法向量n2＝(x2，y2，z2)，
则n2·＝n2·＝0，解得一个n2＝(1,0，)．
设平面ABD与平面ADE夹角为θ，
cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，
∴平面ABD与平面ADE的二面角的大小为.

2．(2022·安徽卷)如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.
(1)证明：Q为BB1的中点；
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
解　(1)证明：∵BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，∴平面QBC∥平面A1AD，
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D，故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，
于是△QBC∽△A1AD，∴＝＝＝，
即Q为BB1的中点．

(2)如图，连接QA，QD，设AA1＝h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积分别为V上和V下，设BC＝a，则AD＝2a，
VQ—A1AD＝··2a·h·d
＝ahd，
VQ—ABCD＝··d·＝ahd，
∴V下＝VQ—A1AD＋VQ—ABCD＝ahd，
又VA1B1C1D1—ABCD＝ahd，
∴V上＝VA1B1C1D1—ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，
故＝.
(3)方法一：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，
又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，
∴DE⊥平面AEA1，于是DE⊥A1E，
∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角．
∵BC∥AD，AD＝2BC，∴S△ADC＝2S△BCA，
又梯形ABCD的面积为6，DC＝2，∴S△ADC＝4，AE＝4.
于是tan∠AEA1＝＝1，∠AEA1＝.
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为.
方法二：如图，以D为原点，，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系，

设∠CDA＝θ，BC＝a，则AD＝2a，
∵SABCD＝·2sinθ＝6，∴a＝.
从而C(2cosθ，2sinθ，0)，A1，
∴＝(2cosθ，2sinθ，0)，
＝.
设平面A1DC的法向量n＝(x，y,1)，
由
得x＝－sinθ，y＝cosθ，∴n＝(－sinθ，cosθ，1)，
又平面ABCD的一个法向量m＝(0,0,1)，
∴cos〈n，m〉＝＝，
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为.