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补偿练9 解析几何
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1．已知直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实数m的取值为________．
解析 由于直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，所以＝≠0，解得m＝－.
答案 －
2．已知数列{an}是等差数列，且a2＝15，a5＝3，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为________．
解析 ∵a5－a2＝3d＝－12，∴d＝－4，
∴a3＝11，a4＝7，∴kPQ＝＝7－11＝－4.
答案 －4
3．抛物线x2＝y的焦点坐标是________．
解析 由x2＝y，得x2＝4y，于是焦点为(0,1)．
答案 (0,1)
4．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值是________．
解析 圆半径为1，由圆心到直线的距离
d＝＝1，得a＝－1.
答案 －1
5．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是________．
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是＝.
答案
6．已知双曲线－＝1(t＞0)的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为________．
解析 依题意，抛物线y＝x2即x2＝8y的焦点坐标是(0,2)，因此题中的双曲线的离心率e＝＝＝2.
答案 2
7．圆x2＋y2＋x－2y－20＝0与圆x2＋y2＝25相交所得的公共弦长为____________．
解析 公共弦的方程为：(x2＋y2＋x－2y－20)－(x2＋y2－25)＝0，即x－2y＋5＝0，圆x2＋y2－25＝0的圆心到公共弦的距离d＝＝，而半径为5，故公共弦长为2＝4.
答案 4
8．已知过点M(－3,0)的直线l被圆x2＋(y＋2)2＝25所截得的弦长为8，那么直线l的方程为________．
解析 由于直线被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离d＝＝3.当直线斜率不存在时，恰好符合，此时直线l的方程为x＝－3；当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0，所以圆心(0，－2)到直线kx－y＋3k＝0的距离d＝＝3，解得k＝，所以直线l的方程为y＝(x＋3)，即5x－12y＋15＝0.
答案 x＝－3或5x－12y＋15＝0
9．已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为__________．
解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点(，0)，
∴a2＋b2＝10，∴e＝＝，∴a＝3，b＝1.
答案 －y2＝1
10．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为________．
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝－，与抛物线方程联立得消去y整理得：x2－3px＋＝0，可得x1＋x2＝3p.依据中点坐标公式，有＝3，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.
答案 x＝－1
11．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若BC＝2BF，且AF＝3，则抛物线的方程为____________．
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM，BN垂直准线于点M，N，则BN＝BF，又BC＝2BF，得BC＝2BN，所以∠NCB＝30°，有AC＝2AM＝6.设BF＝x，则2x＋x＋3＝6，∴x＝1，而x1＋＝3，x2＋＝1，且x1x2＝，所以＝，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝3x.
答案 y2＝3x
12．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差并化简变形得＝－，而＝＝，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以a2＝2b2，又由于a2－b2＝c2＝9，于是a2＝18，b2＝9.
答案 ＋＝1
13．已知点M(－3,2)是坐标平面内肯定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则MQ－QF的最小值是________．
解析 抛物线的准线方程为x＝－，由图知，当MQ∥x轴时，MQ－QF取得最小值，此时QM－QF＝|2＋3|－|2＋|＝.
答案
14．圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为________．
解析 设圆心(a，)(a＞0)，则圆心到直线的距离d＝(a＞0)，而d≥＝3，当且仅当3a＝，即a＝2时，取“＝”，此时圆心为(2，)，半径为3，圆的方程为(x－2)2＋2＝9.
答案 (x－2)2＋(y－)2＝9
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