2021高考数学(福建-理)一轮学案20-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及.docx

学案20　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及
三角函数模型的简洁应用
导学目标： 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简洁实际问题．

自主梳理
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．

X

Ωx＋φ

y＝
Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0

2.图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：
（1）相位变换：y＝sin xy＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上全部的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．
（2）周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．
（3）振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标______(A>1)或______(0<A<1)到原来的____倍(横坐标不变)．
3．当函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝______叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．
函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为____________．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为________．
自我检测
1．(2011·池州月考)要得到函数y＝sin的图象，可以把函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
2．已知函数f(x)＝sin (x∈R，ω>0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是 (　　)
A. B. C. D.
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象 (　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．(2011·太原高三调研)函数y＝sin的一条对称轴方程是 (　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
5．(2011·六安月考)若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 (　　)
A．1 B. C. D．2

探究点一　三角函数的图象及变换
例1　已知函数y＝2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

变式迁移1　设f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋sin2x (x∈R)．
(1)画出f(x)在上的图象；
(2)求函数的单调增减区间；
(3)如何由y＝sin x的图象变换得到f(x)的图象？

探究点二　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式．

变式迁移2　(2011·宁波模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．

(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)若锐角θ满足cos θ＝，求f(4θ)的值．

探究点三　三角函数模型的简洁应用
例3　已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.(1)依据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，推断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

变式迁移3　沟通电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin表示，求：
(1)开头时的电压；(2)最大电压值重复毁灭一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．

数形结合思想的应用
例　(12分)设关于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求α＋β的值．
【答题模板】
解　(1)原方程可化为sin(θ＋)＝－，
作出函数y＝sin(x＋)(x∈(0,2π))的图象．
[3分]
由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是.
即－2<a<－或－<a<2.[6分]
(2)由图知：当－<a<2，即－∈(－1，)时，直线y＝－与三角函数y＝sin(x＋)的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为π，∴＝，
∴α＋β＝.[8分]
当－2<a<－，即－∈(，1)时，直线y＝－与三角函数y＝sin(x＋)的图象有两交点A、B，
由对称性知，＝，∴α＋β＝.[11分]
综上所述，α＋β＝或α＋β＝π. [12分]
【突破思维障碍】
在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、争辩，可使抽象简洁的数理关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．
图象的应用主要有以下几个方面：①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如推断方程sin x＝x的实根个数；⑤对称问题等．
【易错点剖析】
此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很简洁漏掉a≠－的限制，而从图象中可以清楚地看出当a＝－时，方程只有一解．

1．从“整体换元”的思想生疏、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y＝sin x的作用．
2．三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分把握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观看，查找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．
3．三角函数模型应用的解题步骤：
(1)依据图象建立解析式或依据解析式作出图象．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁函数模型．
(3)利用收集到的数据作出散点图，并依据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．将函数y＝sin的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是 (　　)
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
2．(2011·银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 (　　)

A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
3．为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象 (　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．(2009·辽宁)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，f()＝－，则f(0)等于 (　　)

A．－ B．－
C. D.
5．(2011·烟台月考)若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 (　　)
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
题号
1
2
3
4
5
答案

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.

7．(2010·潍坊五校联考)函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)＝______.
8．(2010·福建)已知函数f(x)＝3sin (ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是____________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如下图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[－6，－]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．

10．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象过点M(0,2)．又f(x)的图象关于点N对称且在区间[0，π]上是减函数，求f(x)的解析式．

11．(14分)(2010·山东)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)·cos ωx＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π，
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值．

答案 自主梳理
1.　　　　　0　　π　 2π　2.(1)左　右　|φ|　(2)伸长　缩短　　(3)伸长　缩短　A　3.A　　　ωx＋φ　φ　　
自我检测
1．B　2.D　3.A　4.D　5.B
课堂活动区
例1　解题导引　(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法留意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；
(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位．
解　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.
列表：
X
－

X
0

π

2π
y＝sin X
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
描点连线，得图象如图所示：

(3)将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．
变式迁移1　解　y＝·＋sin 2x＋·
＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin.
(1)(五点法)设X＝2x－，
则x＝X＋，令X＝0，，π，，2π，
于是五点分别为，，，，，描点连线即可得图象，如下图．

(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得单调增区间为，k∈Z.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得单调减区间为，k∈Z.
(3)把y＝sin x的图象向右平移个单位；再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；最终把所得图象向上平移1个单位即得y＝sin＋1的图象．
例2　解题导引　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，确定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．
解　由图象可知A＝2，T＝8.
∴ω＝＝＝.
方法一　由图象过点(1,2)，
得2sin＝2，
∴sin＝1.∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
方法二　∵点(1,2)对应“五点”中的其次个点．
∴×1＋φ＝，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
变式迁移2　解　(1)由题意可得：
A＝2，＝2π，即＝4π，∴ω＝，
f(x)＝2sin，f(0)＝2sin φ＝1，
由|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(x＋)．
f(x0)＝2sin＝2，
所以x0＋＝2kπ＋，x0＝4kπ＋ (k∈Z)，
又∵x0是最小的正数，∴x0＝.
(2)f(4θ)＝2sin
＝sin 2θ＋cos 2θ，
∵θ∈，cos θ＝，∴sin θ＝，
∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，
sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
∴f(4θ)＝×－＝.
例3　解题导引　(1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是精确     理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关学问解决问题，其关键是建模．(2)如何从表格中得到A、ω、b的值是解题的关键也是易错点，同时其次问中解三角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)中参数的确定有如下结论：①A＝；②k＝；③ω＝；④φ由特殊点确定．
解　(1)由表中数据，知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cos t＋1>1，∴cos t>0，
∴2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z，
即12k－3<t<12k＋3，k∈Z.①
∵0≤t≤24，故可令①中的k分别为0,1,2，
得0≤t<3，或9<t<15，或21<t≤24.
∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.
变式迁移3　解　(1)t＝0时，E＝220sin ＝110(伏)．
(2)T＝＝0.02(秒)．
(3)当100πt＋＝，t＝秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为220伏．
课后练习区
1．C　2.D　3.A　4.C　5.D
6.
7．－sin 2x
8.
9．解　(1)由图象知A＝2，
∵T＝＝8，∴ω＝.……………………………………………………………………(2分)
又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－＋φ)＝0.
∵|φ|<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin(x＋)．………………………………………………………………………(5分)
(2)y＝f(x)＋f(x＋2)
＝2sin(x＋)＋2sin(x＋＋)
＝2sin(x＋)＝2cosx.……………………………………………………………(8分)
∵x∈[－6，－]，∴－≤x≤－.
∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值；
当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2.………………………(12分)
10．解　依据f(x)是R上的偶函数，图象过点M(0,2)，可得f(－x)＝f(x)且A＝2，
则有2sin(－ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ)，
即sin ωxcos φ＝0，
∴cos φ＝0，即φ＝kπ＋ (k∈Z)．
而0≤φ≤π，∴φ＝.………………………………………………………………………(4分)
再由f(x)＝2sin(－ωx＋)＝2cos ωx的图象关于点N对称，f()＝2cos(π)＝0
∴cos π＝0，……………………………………………………………………………(8分)
即π＝kπ＋ (k∈Z)，ω＝ (k∈Z)．
又0<ω≤2，∴ω＝或ω＝2.……………………………………………………………(10分)
最终依据f(x)在区间[0，π]上是减函数，
可知只有ω＝满足条件．
所以f(x)＝2cos x.………………………………………………………………………(12分)
11．解　(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx
＝sin ωxcos ωx＋
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin＋.……………………………………………………………………(6分)
由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分)
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f(2x)
＝sin＋.……………………………………………………………………(10分)
当0≤x≤时，≤4x＋≤.
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤，…………………………………………………………………(13分)
所以g(x)在此区间内的最小值为1.…………………………………………………(14分)