福建省宁德市2021届高三普通高中毕业班5月质检数学(文)试卷-Word版含答案.docx

2021年宁德市一般高中毕业班其次次质量检查
数学（文科）试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．
留意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据，，，的标准差

其中为样本平均数
柱体体积公式

其中为底面面积，为高
锥体体积公式

其中为底面面积，为高
球的表面积、体积公式
，
其中为球的半径

第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．某全日制高校共有同学5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，争辩生有900人. 现接受分层抽样的方法调查同学利用因特网查找学习资料的状况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与争辩生这三类同学中分别抽取
A．55人，80人，45人 B．40人，100人，40人
C．60人，60人，60人 D．50人，100人，30人
4．经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是
A． B．
C． D．
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是
A．若m∥α，nα，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
6．已知，，则
A． B． C． D．
7．下列函数中，既为奇函数又在内单调递减的是
A．
B．
INPUT x
IF x<=0 THEN

ELSE

END IF
PRINT y
END

第8题图
C．
D．
8．运行如图所示的程序，若输出的值为1，
则可输入的个数为
A．
B．
C．
D．
9．已知实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
第10题图
10．已知四棱锥的三视图如图所示,
则此四棱锥的侧面积为
A．
B．
C．
D．
11．已知点是所在平面上一点，边的中点为，若，
则与的面积比为
A． B． C． D．
12. 为坐标原点，为曲线上的两个不同点，若，则直线 与圆的位置关系是
A. 相交 B. 相离 C. 相交或相切 D. 相切或相离

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．
13．复数（为虚数单位），则 .
14．在区间内任取一个实数，则使不等式成立的概率为 .
15．关于的方程的两个根为，则的最小值为 .
16．已知函数，且恒成立. 给出下列结论：
①函数在上单调递增；
②将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数；
③若，则函数有且只有一个零点.
其中正确的结论是 .（写出全部正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和.
（Ⅰ）求实数的值和的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，，求.

18．（本小题满分12分）
时间
0.002
频率/组距
0 10 20 30 40 50
0.003
0.020
0.060
a
某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课. 为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，依据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为，，，，.
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；
（Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的同学中，
随机抽取2人，求恰有一个同学的单程时间落在
上的概率.

19．（本小题满分12分）
N
O
x
M
y
已知函数在一个周期内的图象如图所示，
其中，．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）在中，角的对边分别是，
且，求的面积．

20．（本小题满分12分）
如图四棱锥中，平面平面，，
，且，．
（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）问：棱上是否存在点，使得平面？
C
B
D
P
A
若存在，求出的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）
已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与曲线交于点，记点到直线的距离为.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）过点作直线的垂线交直线于点，求证：直线平分线段.

22．（本小题满分14分）
已知函数（）．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式对任意恒成立．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）试比较与的大小，并给出证明（为自然对数的底数，）．
2021年宁德市一般高中毕业班其次次质量检查
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考察的主要学问和力气，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解法不同，可依据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础学问和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．B 2．B 3．D 4．A 5．D 6．A 7．C 8．D 9．B 10．C
11．C 12．A
二、填空题：本题考查基础学问和基本运算．本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．； 14．； 15．； 16．①③．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础学问；考查推理论证与运算求解力气，满分12分．
解：（Ⅰ）∵,
∴，，. 3分
∵数列是等比数列,
∴，即， 4分
∴ . 5分
∴数列是以为首项，为公比的等比数列， 6分
∴ . 7分
（Ⅱ）∵，∴， 8分
当时，
9分

11分
又符合上式，
∴. 12分
18．本题主要考查概率、统计等基础学问，考查数据处理力气、抽象概括力气、运算求解
力气以及应用意识，考查或然与必定思想、化归与转化思想．满分12分．
解：（Ⅰ）时间分组为的频率为
， 2分
∴，
所以所求的频率直方图中的值为. 3分
（Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：
4分

. 5分
由于，
所以该校不需要推迟5分钟上课. 6分
（Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在中的有人，不妨设为，
单程所需时间在中的有人，不妨设为， 7分
从单程所需时间不小于30分钟的5名同学中，随机抽取2人共有以下种状况：
，，，，，，，
，，； 10分
其中恰有一个同学的单程所需时间落在中的有以下6种：
，，，，，； 11分
故恰有一个同学的单程所需时间落在中的概率. 12分
19．本题主要考查解三角形，三角函数的图象与性质等基础学问；考查运算求解力气，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分．
解：（Ⅰ）由图像可知：函数的周期， 1分
∴. 2分
又过点,
∴，， 3分
∵，，
∴，即. 4分
∴. 5分
（Ⅱ）∵即，
又
∴，即. 7分
在中，，
由余弦定理得 ， 8分
∴，即，
解得或（舍去）. 10分
∴. 12分
A
C
B
D
P
G
20．本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础学问；考查空间想象力气、运算求解力气及推理论证力气，满分12分．
解：（Ⅰ）取中点，连接，

四边形为平行四边形，

在中，
1分

即 2分
平平平平
平 3分
, 4分
5分

. 6分
（II）棱上存在点，当时，平面. 7分
证明：连结交于点，连结.
∵
A
C
B
D
P
O
E
∴ 8分
∴,又
∴，
∴ 10分
又
. 12分
21．本题主要考查直线、椭圆、轨迹等基础学问及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解力气、推理论证力气；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．满分12分．
解法一：（Ⅰ）设，
依题意得 , 1分
整理得,
∴动点的轨迹的方程为 . 3分
（Ⅱ）（ⅰ），设则 , 4分
y
x
M
F
P
Q
O
∴ 5分

. 7分
(说明：直接给出结论正确，没有过程得1分)
（ⅱ）依题意,设直线,
联立可得, 8分
明显 9分
所以线段的中点坐标为 10分
又由于故直线的方程为,
所以点的坐标为,
所以直线的方程为: 11分
由于满足方程
故平分线段 12分
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）同解法一
（ⅱ）当直线的方程为时，明显平分线段； 8分
当直线的方程为时，设
联立可得,
明显 9分
所以线段的中点坐标为 10分
又由于故直线的方程为,
所以点的坐标为,
所以直线的方程为: 11分
由于满足方程
故平分线段 12分
22．本题主要考查函数、导数、不等式等基本学问；考查运算求解力气、推理论证力气；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．满分14分．
解：（Ⅰ） 时，， 1分
切点为， 3分
时，曲线在点处的切线方程为. 4分
（II）（i），
， 5分
① 当时，，,
在上单调递增， ，
不合题意. 6分
②当即时，在上恒成立，
在上单调递减，有，
满足题意. 7分
③若即时，由，可得，由，可得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
不合题意. 9分
综上所述，实数的取值范围是 10分
（ii）时，“比较与的大小”等价于“比较与的大小”
设
则
在上单调递增， 12分

当时即，
当时，即，
综上所述，当时，；
当时，；
当时，. 14分