广东省佛山市第一中学2021届高三9月考数学(理)-Word版含答案.docx

佛山市第一中学2021届高三9月考理数试题

2022年9月 命题人：程生根 李维

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）

1、已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为

A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．{1}

2、设复数，在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，，则
A. B. 　　　 C. D.

3、下列说法正确的是
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．命题“∀x≥0，x2＋x－1＜0”的否定是“∃x0＜0，x＋x0－1≥0”
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题
D．若“”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题

4、若，则下列结论正确的是
A. B. C. D.

5、设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)＋2．当0≤x<2时，f(x)＝1，则f(2022)＝

A.2021 B.2022 C．2021 D．2022

6、已知函数的图象如右图所示，则函数图象大致为

A B C D
7、设函数，关于函数有以下四个结论：
①值域为[0，1]；②是周期函数；③是单调函数；④是偶函数；
其中正确的结论个数为：
　　 A．0 　　B．1 C．2 　　D．3
8、如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为

A． 　　B． C． 　　D．

二、填空题：(本题共6个小题，每小题5分，共30分，
请将你的答案写在答卷上相应位置）
9、= ．
10、＝________．
11、已知函数（）是区间上的单调函数，则的取值范围是 ．
12、若函数恰有两个零点，则的取值范围为 ；
3、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 .

14、已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”.则函数图像的对称中心坐标为 .

三、解答题：本题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答）
15、(本小题满分12分)　
已知函数
（1）求函数的最小正周期；（6分）
（2）若x∈，都有f(x)－c≤0，求实数c的取值范围．（6分）
16、(本小题满分12分)
如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.
⑴求证：平面；（5分）
⑵求二面角的余弦值；（7分）

17、（本小题满分14分）
某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测. 下图是依据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].
（1）求图中的值，并依据频率分布直方图估量这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；（5分）
（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98）的概率；（3分）
（3）若产品净重在[98，104)为合格产品，其余为不合格产品. 从这60件抽样产品中任选2件，记表示选到不合格产品的件数，求的分布列及数学期望。（6分）

18、(本小题满分14分)
某商场销售某件商品的阅历表明，该商品每日的销量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数。已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

19、（本小题满分14分）
已知函数，
（1）若=,求函数的极值；
（2）求函数的单调区间。

20、（本小题满分14分）
已知函数（a是常数，）.
（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时,方程在上有两解，求实数的取值范围；
（3）求证:

佛山市第一中学2021届高三9月考理数答案
一、选择题
CCDD CCCB
二、选择题
9．7 10．π2―2 11．(－∞，2]∪[5，＋∞)
12．(－2，2) 13．[10，30] 14．(－1，1)
三、解答题：本题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答）
15、（本题满分12分）
解：（1）由，得
4分
所以函数的最小正周期为 …………6分
（2）由于在区间上为增函数，在区间上为减函数，…10分
又，
所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1 …………11分
故。 …………12分
16．（本题满分12分）
解： ⑴证明： 由于平面，面
所以. ……………………2分
由于是正方形，所以，
又相交且都在面内，
从而平面. ……………………5分
⑵解：由于两两垂直，
所以建立空间直角坐标系如图所示.
由于面，所以与平面所
成角就是，
已知与平面所成角为，
即， …………………6分
所以.
由可知，.
则，，，，，
所以，， ……………………8分
设平面的法向量为，则，即，
令，则. …………………10分
由于平面，所以为平面的法向量，，
所以. …………………11分
由于二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.………………12分
17. （本小题满分14分）
解：（1）由频率分布直方图知，，解得. …2分
故估量这60件抽样产品净重的平均数为
（克）. ………4分
众数为101. ……………………………………………………………………5分
设中位数为，则，解得. ……………………6分
（2）恰好抽取到3件产品的净重在的概率为，
故至多有2件产品的净重在的概率为. ……………………9分
（3）这60件抽样产品中，不合格产品有件，合格产品有件.
的可能取值为. …10分
…13分
. ………………………………………14分
18、(本小题满分14分)
解：（1）依据题意可得，当时，，代入解析式得：
，所以； …………4分
（2）由于，所以该商品每日销售量为：
每日销售该商品所获得的利润为：
， …………8分
所以 ……10分
所以，的变化状况如下表：

（3，4）
4
（4，6）

+
0
-

递增
极大值42
递减
由上表可得，是函数在区间（3，6）上的极大值点，也是最大值点；
所以当时，函数取得最大值42；
因此，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。 ……14分
19、（本小题满分14分）
f(x)的定义域为R，f ′(x)＝．
(1)若a＝，则f (x)＝，f ′(x)＝．
令f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3．…………2分
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化状况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
极大值
递减
微小值
递增
…………4分
∴当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝，当x＝3时，f(x)取得微小值f(3)＝．…6分
(2) 设g(x)＝ax2―2ax―1
①若a＝0，则f (x)＝，f ′(x)=－ <0,f (x)的减区间为 (－∞，＋∞)．
②若a>0，则Δ＝4a2＋4a>0，g(x)＝ax2―2ax―1的两个零点为x1＝1― ，x2＝1＋．
令f ′(x)<0解得x1<x< x2，所以 f(x)的减区间为(x1，x2)
③若a<0，
i)当―1≤a<0时，则Δ≤0，g(x)≤0恒成立， f ′(x)≤0恒成立，所以 f (x)的减区间为 (－∞，＋∞)．
ii)当a<―1时，则Δ>0，令f ′(x)<0解得x< x2或x> x1，所以f(x)的减区间为(－∞，x2)和(x1，＋∞) ．
故当a>0时，f (x)的减区间为(x1，x2) ；
当―1≤a≤0时，f (x)的减区间为 (－∞，＋∞)；
当a<―1时, f(x)的减区间为(－∞，x2)和(x1，＋∞) ．

20、（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） ．切线方程为．…….4分
（Ⅱ）当时，，其中，
当时，；时，，…………6分
∴是在 上唯一的微小值点，∴ ． …………8分
又，
综上，所求实数的取值范围为. …………10分
（Ⅲ）等价于
若时，由（2）知在上为增函数，
当时，令，则，故，
即，∴．…….13分
故
即
，即。…….14分