2021高考数学(文)一轮知能检测：第9章-第1节-变化率与导数、导数的计算.docx

第一节　变化率与导数、导数的计算

[全盘巩固]
1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是(　　)
A．0 B．2cos 1－sin 1
C．cos 1－sin 1 D．1
解析：选B　∵y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，
∴y′|x＝1＝2cos 1－sin 1.
2．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于(　　)
A．0 B．－1 C. D．2
解析：选C　f′(x)＝3x2－2tx－4，f′(－1)＝3＋2t－4＝0，t＝.
3．(2022·丽水模拟)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(　　)
A．1 B．3 C．－4 D．－8
解析：选C　由题意得P(4,8)，Q(－2,2)．∵y＝，∴y′＝x，
∴在P处的切线方程：y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.在Q处的切线方程：y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.∴A(1，－4)．
4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B． a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：选A　y′＝2x＋a，由于切线x－y＋1＝0的斜率为1，所以2×0＋a＝1，即a＝1.又(0，b)在直线x－y＋1＝0上，因此0－b＋1＝0，即b＝1.
5．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　)
A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2
解析：选C　∵y＝ln x的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝x＋b得b＝ln 2－1.
6．(2022·杭州模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，假如f′(x)是二次函数，f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意知f′(x)＝a(x－1)2＋(a>0)，所以f′(x)＝a(x－1)2＋≥ ，即tan α≥ ，所以α∈.
7．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为________．
解析：由题意可知f′＝x－|x＝＝g′＝，可得a＝，经检验，a＝满足题意．
答案：
8．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．

解析：依据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.
答案：x－y－2＝0
9．(2022·金华模拟)若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有正实数解．又∵f′(x)＝5ax4＋，∴方程5ax4＋＝0有正实数解．∴5ax5＝－1有正实数解．∴a<0.
故实数a的取值范围是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
10．求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；
(2)y＝(－2)2；
(3)y＝x－sin cos ；
(4)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
解：(1)∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
(2)∵y＝(－2)2＝x－4＋4，∴y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4×x－＝1－2x－.
(3)∵y＝x－sincos ＝x－sin x，∴y′＝x′－′＝1－cos x.
(4)由已知f′(x)＝[(ax＋b) sin x＋(cx＋d)cos x]′＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.∵f′(x)＝xcos x，∴必需有即⇒a＝d＝1，b＝c＝0.
11．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)假如曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1) (－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1.∴或
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.
12．设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线相互垂直．
(1)求a，b之间的关系；
(2)求ab的最大值．
解：(1)对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝
－2x＋a，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两条切线相互垂直．∴(2x0－2)·(－2x0＋a)＝－1，即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，①
又点(x0，y0)在C1与C2上，故有⇒2x－(a＋2)x0＋2－b＝0.②
由①②消去x0，可得a＋b＝.
(2)由(1)知：b＝－a，∴ ab＝a＝－2＋.∴当a＝时，(ab)max＝.
[冲击名校]
(2021·四川高考)已知函数f(x)＝其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.
(1)指出函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线相互垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1；
(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．
(2)证明：由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.
当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.由于x1＜x2＜0，所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1.当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立
所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线相互垂直时，有x2－x1≥1.
(3)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x＋a.
当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.两切线重合的充要条件是
由①及x1＜0＜x2知，0＜＜2.由①②得，a＝ln x2＋2－1＝－ln＋2－1.
令t＝，则0＜t＜2，且a＝t2－t－ln t.设h(t)＝t2－t－ln t(0＜t＜2)，
则h′(t)＝t－1－＝＜0，所以h(t)(0＜t＜2)为减函数．
则h(t)＞h(2)＝－ln 2－1，所以a＞－ln 2－1.而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大，
所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．