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1．(2021·杭州高二检测)“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
解析：选B.依据“三段论”的形式知，S——四边形ABCD，P——对角线相等，M——矩形．∴大前提“M是P”是指矩形都是对角线相等的四边形．
2．(2021·黄冈高二检测)用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是( )
A．增函数的定义
B．函数y＝x3满足增函数的定义
C．若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)
D．若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)
解析：选B.“三段论”中，依据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，假如∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．由平面三角形的性质，推想空间四周体的性质
C．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推想各班都超过50人
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此推出{an}的通项公式
解析：选A.选项B为类比推理，选项C，D为归纳推理，选项A为演绎推理，符合三段论．
4．(2021·黄冈高二检测)已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c的关系是( )
A．成等差数列但不成等比数列
B．成等差数列且成等比数列
C．成等比数列但不成等差数列
D．不成等比数列也不成等差数列
解析：选A.由条件可知a＝log23，
b＝log26，c＝log212.
∵a＋c＝log23＋log212＝log236＝2log26＝2b，
∴a，b，c成等差数列．
又∵ac＝log23log212≠(log26)2＝b2，
∴a，b，c不成等比数列．故选A.
5．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)是偶函数，则θ＝( )
A.＋(k∈Z) B.(k∈Z)
C．kπ＋(k∈Z) D．kπ(k∈Z)
解析：选D.∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)即f(－x)－f(x)＝0.
由于f(x)＝cos(2x＋θ)是偶函数，
∴cos(－2x＋θ)－cos(2x＋θ)＝0，
－2sin θsin(－2x)＝0即sin θsin 2x＝0.
又x∈R，∴sin θ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)．
6．由“(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是________．
解析：∵a2＋a＋1＝2＋>0.
∴(a2＋a＋1)x>3⇒x>.
其前提依据为不等式的乘法法则：a>0，b>c⇒ab>ac.
答案：a>0，b>c⇒ab>ac
7．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析：当0<a<1时，函数f(x)＝ax为减函数，
a＝∈(0,1)，
所以函数f(x)＝x为减函数．
故由f(m)>f(n)得m<n.
答案：m<n
8．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.
解析：由于奇函数f(x)在x＝0处有定义则f(0)＝0，而奇函数f(x)＝a－的定义域为R，所以f(0)＝a－＝0.
解得a＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝(x∈R)．
(1)判定函数f(x)的奇偶性；
(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明．
解：(1)对∀x∈R有－x∈R，
并且f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)在R上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈R，并且x1>x2，
10．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义、单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x2)＝2f(x)；
(2)求f(1)的值；
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
解：(1)证明：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)．
∴f(x2)＝f(x·x)
＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．
(2)∵f(1)＝f(12)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2
＝2f(2)＝f(4)，
且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴解得0＜x≤1.
1．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是点B，D，假如增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不行能是下面四个选项中的( )
A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α，β所成的角相等
解析：选D.只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α，β所成的角相等时，推不出EF⊥AC，故选D.
2．(2021·西城高二检测)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.
解析：利用三段论．
∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)．
令b＝1，则＝f(1)＝2(小前提)．
∴＝＝…＝＝2(结论)，
∴原式＝＝2 014.
答案：2 014
3．(2022·高考广东卷)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．
(1)证明：PH⊥平面ABCD；
(2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E-BCF的体积；
(3)证明：EF⊥平面PAB.
解：(1)证明：由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，
所以PH⊥AB.
由于PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.
由于PH⊄平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD.
(2) 如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.
由于E是PB的中点，
所以EG∥PH，且EG＝PH＝.
由于PH⊥平面ABCD，
所以EG⊥平面ABCD.
由于AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形，
所以VE-BCF＝S△BCF·EG＝··FC·AD·EG＝.
(3)证明：取PA中点M，连接MD，ME.
由于E是PB的中点，所以ME綊AB.
又由于DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.
由于PD＝AD，所以MD⊥PA.
由于AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.
由于PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，
所以EF⊥平面PAB.
4．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.
解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
2(1－ln 2＋a)
↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2]，
单调递增区间是[ln 2，＋∞)，
f(x)在x＝ln 2处取得微小值，
微小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)＞g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，
g(x)＞0.
即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.
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