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空间几何体
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列命题中，正确的是( )
A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
解析：选D 生疏棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的外形两方面去分析，故A，C都不够精确 ，B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．
2．如图所示，观看四个几何体，其中推断正确的是( )
A．(1)是棱台 B．(2)是圆台
C．(3)是棱锥 D．(4)不是棱柱
解析：选C 图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．
3.如图所示的直观图的平面图形ABCD是( )
A．任意梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
解析：选B AB∥Oy，AD∥Ox，故AB⊥AD.又BC∥AD且BC≠AD，所以为直角梯形．
4．下列说法正确的是( )
A．圆锥的侧面开放图是一个等腰三角形
B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体
C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
D．通过圆台侧面上一点，有很多条母线
解析：选C 圆锥的侧面开放图是一个扇形，A不正确；棱柱的侧面只需是平行四边形，所以B不正确；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D不正确；C任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥是正确的．
5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
解析：选C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为2，正四棱柱的对角线为2.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R＝2，R＝，S球＝4πR2＝24π.
6． 如图(1)、(2)、(3)为三个几何体的三视图，依据三视图可以推断这三个几何体依次为( )
A．三棱台、三棱柱、圆锥
B．三棱台、三棱锥、圆锥
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥
D．三棱柱、三棱台、圆锥
解析：选C 由俯视图知(1)，(2)是多面体，(3)是旋转体．再由正视图及侧视图可知(1)是三棱柱，(2)是正四棱锥，(3)是圆锥．
7． 如图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图所示；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图所示；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图所示．其中真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A 只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形的直角边所在的一个侧面平卧；②正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真．
8.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是( )
A．6 B．3
C．6 D．12
解析：选D 由水平放置的平面图形的斜二测画法的规章可知，△OAB为直角三角形且直角边OB＝2O′B′＝4，OA＝O′A′＝6，因此S△OAB＝×4×6＝12.
9．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )
A．1∶2 B．2∶3
C．1∶3 D．1∶4
解析：选B 设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧＝2πrl，S全＝2πr2＋2πrl，∴S侧∶S全＝2πrl∶(2πr2＋2πrl)＝2∶3.
10.已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( )
A．12 B．27
C．36 D．6
解析：选C 若将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面边长为a，则a＝3，
∴a＝6，故体积V＝×62×4＝36.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好沉没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.
解析：设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有
πr2·6r＝8πr2＋3·πr3，即2r＝8，
∴r＝4.
答案：4
12. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
解析：设正三棱柱的底面边长为a，利用体积为2，很简洁求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为，故所求矩形的面积为2.
答案：2
13．圆台的母线长扩大到原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的，那么它的侧面积为原来的________倍．
解析：设转变之前圆台的母线长为l，上底半径为r，下底半径为R，则侧面积为π(r＋R)l，转变后圆台的母线长为nl，上底半径为，下底半径为，则侧面积为πnl＝π(r＋R)l，故它的侧面积为原来的1倍．
答案：1
14.一块正方形薄铁片的边长为4 cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.
解析：扇形的面积和圆锥的侧面积相等，依据公式即可算出底面半径r，则容积易得．
即2πr＝×2π·4，则r＝1.
又母线长为4 cm，h＝＝.
则V＝πr2h＝·π·12·＝π.
答案：π
三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm.求圆锥的母线长．
解：设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径分别为r、R.
∵＝，∴＝，∴l＝(cm)．
故圆锥的母线长为 cm.
16．(本小题满分12分)如下图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
解：设圆柱的底面半径为r，高为h′.
圆锥的高h＝ ＝2，
又∵h′＝，
∴h′＝h.∴＝，∴r＝1.
∴S表面积＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πrh′
＝2π＋2π×＝2(1＋)π.
17．(本小题满分12分)如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为68π cm2，由V圆台＝×(π×22＋＋π×52)×4＝52π，
V半球＝π×23×＝π，
所以，所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3)．
18．(本小题满分14分)(2021·河源高一检测)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．
(1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.
(2)正侧面及其相对侧面底边上的高为：h1＝＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝ ＝4.
故几何体的侧面面积为：S＝2×＝40＋24.
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