(北师大版)数学必修1同步测试：第1章测试题.docx

第一章测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·新课标Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝(　　)
A．{－1,0}　　　　 B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
[答案]　A
[解析]　由已知得B＝{x|－2<x<1}，故A∩B＝{－1,0}，故选A.
2．下列集合中表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
[答案]　B
[解析]　A选项中，元素为点，且不是同一点，C，D选项中的元素，一个为点，一个为数，都不行能为同一集合，故B正确．
3．有下列结论：①由1,2,3,4,5构成的集合含有6个元素；②大于5的自然数构成的集合是无限集；③边长等于1的菱形构成的集合是有限集合；④某校高一入学成果最好的同学构成的集合是有限集．
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　②正确，①中集合的元素有5个，③中边长等于1的菱形，夹角不定，④不对，故①③④不正确．
4．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－<x<}，则(　　)
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
[答案]　B
[解析]　本题考查集合的关系与运算．
A＝{x|x2－2x>0}＝{x|x<0或x>2}
∴A∪B＝R，故选B.
5．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的范围是(　　)
A．a≤－1 B．a≥1
C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≤－1
[答案]　C
[解析]　∵P＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝P，∴a∈P.
即：－1≤a≤1.
6．设集合A＝{x|x≤}，a＝，那么(　　)
A．aA B．a∉A
C．{a}∉A D．{a}A
[答案]　D
[解析]　A是集合，a是元素，两者的关系应是属于与不属于的关系．{a}与A是包含与否的关系，据此，A、C明显不对．而<，所以a是A的一个元素，{a}是A的一个子集．故选D.
7．(2022·浙江高考)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝(　　)
A．∅ B．{2}
C．{5} D．{2,5}
[答案]　B
[解析]　本题考查集合的运算．A＝{x∈N|x2≥5}＝{x∈N|x≥}，故∁UA＝{x∈N|2≤x<}＝{2}．选B.
8．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为(　　)
A．{(1,2)} B．{(2,1)}
C．{1,2} D．{x2－3x＋2＝0}
[答案]　C
[解析]　该集合为数集，所以A、B都不对，D是用列举法表示，但元素为方程x2－3x＋2＝0.
9．设S＝R，M＝{x|－1<x<}，N＝{x|x≤－1}，P＝{x|x≥}，则P等于(　　)
A．M∩N B．M∪N
C．∁S(M∪N) D．∁S(M∩N)
[答案]　C
[解析]　∵M∪N＝{x|－1<x<}∪{x|x≤－1}＝{x|x<}，∴∁S(M∪N)＝{x|x≥}＝P.
10．设U是全集，M、P、S是U的三个子集，则如图所示阴影部分所表示的集合为(　　)

A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪(∁US)
C．(M∩P)∪S D．(M∩P)∩(∁US)
[答案]　D
[解析]　阴影部分不属于S，属于P，属于M，故选D.
11．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；④集合{x∈Q|∈N}是有限集．其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
[答案]　D
[解析]　①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，∴①不正确．
②当a＝0时，0∈N，∴②不正确．
③∵x2－2x＋1＝0，x1＝x2＝1，
∴{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，
∴③不正确．
④当x为正整数的倒数时∈N，
∴{x∈Q|∈N}是无限集，
∴④不正确．
12．设集合M＝{x|x≤2}，a＝，其中b∈(0,1)，则下列关系中正确的是(　　)
A．aM B．a∉M
C．{a}∈M D．{a}M
[答案]　D
[解析]　由集合与集合及元素与集合之间的关系知，明显A、C不正确．又由于2＝，
所以当b＝0时，a＝，可知<，而当b＝1时，a＝，可知D正确．
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B＝________.
[答案]　{6,8}
[解析]　本题考查的是集合的运算．
由条件知∁UA＝{6,8}，B＝{2,6,8}，∴(∁UA)∩B＝{6,8}．
14．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁RM)∩N＝________.
[答案]　{x|x<－2}
[解析]　∵M＝{x|－2≤x≤2}，
∴∁RM＝{x|x<－2或x>2}．
又N＝{x|x<1}，
∴(∁RM)∩N＝{x|x<－2}．
15．设全集U＝R，A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影表示的集合为________．

[答案]　{－3}
[解析]　如图阴影部分为(∁UA)∩B.
∵A＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4，…，9,10}，
B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，
∴(∁UA)∩B＝{－3}．
16．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3l＋1，l∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．
[答案]　SP＝M
[解析]　M、P是被3除余1的数构成的集合，则P＝M，S是被6除余1的数，则SP.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．
[解析]　∵M∩N＝{3}，∴3∈M；
∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，
解得a＝－1或4.
但当a＝－1时，与集合中元素的互异性冲突；
当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．
∴a＝4.
18．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－2＝0}且A∪B＝A，求实数m组成的集合C.
[解析]　由A∪B＝A得B⊆A，因此B有可能等于空集．
①当B＝∅时，此时方程mx－2＝0无解，
即m＝0符合题意．
②当B≠∅时，即m≠0，此时A＝{1,2}，B＝{}，
∵B⊆A.∴＝1或＝2，
∴m＝2或m＝1.
因此，实数m组成的集合C为{0,1,2}．
19．(本小题满分12分)设数集A＝{a2,2}，B＝{1,2,3,2a－4}，C＝{6a－a2－6}，假如C⊆A，C⊆B，求a的取值的集合．
[解析]　∵C⊆A，C⊆B，∴C⊆(A∩B)．
又C中只有一个元素，
∴6a－a2－6＝2，解得a＝2或a＝4.
当a＝2时，a2＝4,2a－4＝0满足条件；
当a＝4时，a2＝16,2a－4＝4也满足条件．
故a的取值集合为{2,4}．
20．(本小题满分12分)已知M＝{x|x2－5x＋6＝0}，N＝{x|ax＝12}，若N⊆M，求实数a所构成的集合A，并写出A的全部非空真子集.
[解析]　∵M＝{x|x2－5x＋6＝0}，解x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}．
∵N⊆M，∴N为∅或{2}或{3}．
当N＝∅时，即ax＝12无解，此时a＝0；
当N＝{2}时，则2a＝12，a＝6；
当N＝{3}时，则3a＝12，a＝4.
所以A＝{0,4,6}，从而A的全部非空真子集为{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．
21．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；

(2)若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值；
(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求a的值．
[解析]　(1)∵A∩B＝A∪B，
∴A＝B，即x2－ax＋a2－19＝x2－5x＋6，
∴a＝5.
(2)由已知有B＝{2,3}，C＝{－4,2}．
∵∅(A∩B)，A∩C＝∅，∴3∈A，而－4,2∉A.
由32－3a＋a2－19＝0，解得a＝－2或a＝5.
当a＝－2时，A＝{3，－5}，符合题意，
当a＝5时，A＝{3,2}，与A∩C＝∅冲突，
∴a＝－2.
(3)若A∩B＝A∩C≠∅，则有2∈A.
由22－2a＋a2－19＝0，得a＝5或a＝－3.
当a＝5时，A＝{3,2}，不符合条件，
当a＝－3时，A＝{－5,2}，符合条件．
∴a＝－3.
22．(本小题满分12分)设非空集合S具有如下性质：
①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.
(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．
(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出全部的集合S；若不存在，请说明理由．
(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?
[解析]　(1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．
若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：
{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，
若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．
(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：
S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．
(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5∉S，则S中元素个数为偶数个．