高中数学(北师大版)选修2-2教案：第5章-拓展资料：复数性质的妙用.docx

复数性质的妙用
复数有很多特殊的性质，假如能在解题的过程中机敏地加以运用，就会收到事半功倍的效果.
　　一、虚数的性质及其应用
　　与虚数单位相关的性质有：
　　①（即的平方根是）；
　　②若，则，，，；
　　③；
　　④；
　　⑤，．
　　例1　计算．
　　解析：，
．
　　二、共轭复数的性质及其应用
　　设复数的共轭复数为，则有如下性质：
　　①；
　　②；
　　③；
　　④；
　　⑤为实数，为纯虚数．
例2 设复数满足，其中，求的值．
解析：
，
把代入上式，得．
三、的应用
例3　设复数满足，求的最值．
解析：由题意，，则．
设，则．
· 当时，；当时，．
四、纯虚数的性质及其应用
命题　设z为非零复数，若z为纯虚数，则对任意非零实数a，有成立．反之，若是非零实数，且，则为纯虚数．
　　证明：由两复数差的模的几何意义可知，复数对应点的轨迹为复平面上复数a与对应点连线的中垂线.明显其中垂线为虚轴.因而复数为纯虚数，反之亦然.
　　例4　解方程．
　　解析：原方程可化为，若，则，原方程不成立，．
　　为纯虚数．
　　由命题知，，，即．