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课时提升作业(一)
一、选择题
1.已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a等于( )
(A)1 (B)0 (C)-2 (D)-3
2.(2021·福州模拟)已知集合A={-1,1},B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于( )
(A){-1,0,1} (B){1}
(C){-1,1} (D){0,1}
3.(2021·石家庄模拟)已知集合A={x|y=log2(x2-1)},B={y|y=()x-1},则A∩B等于( )
(A){x|<x<1} (B){x|1<x<2}
(C){x|x>0} (D){x|x>1}
4.A={x|x≠1,x∈R}∪{y|y≠2,y∈R},B={z|z≠1且z≠2,z∈R},那么( )
(A)A=B (B)AB
(C)BA (D)A∩B=∅
5.(2021·重庆模拟)设全集U=R,A={x|y=},B={y|y=2x,x∈R},则A∪B=( )
(A){x|x≥0} (B){x|0<x≤1}
(C){x|1<x≤2} (D){x|x>2}
6.(2021·杭州模拟)已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N=( )
(A)(0,1),(1,2) (B){(0,1),(1,2)}
(C){y|y=1或y=2} (D){y|y≥1}
7.已知集合M={x|y=},N={x|y=log2(x-2x2)},则(M∩N)=( )
(A)(,) (B)(-∞, )∪[,+∞)
(C)[0,] (D)(-∞,0]∪[,+∞)
8.(2021·合肥模拟)已知集合A={x|y=},B={y|y=},则A∩B=( )
(A)[2,+∞) (B)[2,3)∪(3,+∞)
(C)(1,+∞) (D)[1,3)∪(3,+∞)
9.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合E={x|x2-3x+2=0,x∈R},F={x| =0,x∈R},则()∩F=( )
(A){-3,-1,0,3} (B){-3,-1,3}
(C){-3,-1,1,3} (D){-3,3}
10.(2021·泉州模拟)设A，B是非空集合,定义A×B={x|x∈(A∪B)且x(A∩B)},已知A={x|},B={y|y=2x2}，则A×B等于( )
(A)(2,+∞) (B)［0,1］∪［2,+∞)
(C)［0,1)∪(2,+∞) (D)［0,1］∪(2,+∞)
二、填空题
11.已知集合A={x∈N|∈N},则集合A的全部子集是 .
12.已知A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B≠∅ ,且B⊆A,则m的取值范围是 .
13.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},则a+b的值等于 .
14.(力气挑战题)设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:
①集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集;
②若S为封闭集,则确定有0∈S;
③封闭集确定是无限集;
④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集.
其中真命题有 (写出全部真命题的序号).
三、解答题
15.(力气挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},
B={x|x2+(m+1)x+m=0},
若()∩B=∅ ,求m的值.
答案解析
1.【解析】选C.依据A⊆B,则只能是a+3=1,即a=-2.
2.【解析】选B.B={x|1≤2x＜4}={x|0≤x＜2},
∴A∩B={-1,1}∩{x|0≤x＜2}={1}.
3.【解析】选D.集合A为函数y=log2(x2-1)的定义域,由x2-1>0可得集合A=
(-∞,-1)∪(1,+∞);集合B为函数y=()x-1的值域,依据指数函数性质,集合B=(0,+∞).所以A∩B={x|x>1}.
4.【解析】选C.集合中的代表元素与用什么字母表示无关.事实上A=(-∞,1)∪(1,+∞)∪(-∞,2)∪(2,+∞)=(-∞,+∞),集合B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),所以BA.
5.【解析】选A.集合A={x|0≤x≤2},B={y|y>0},
∴A∪B={x|x≥0}.
6.【解析】选D.集合M=[1,+∞),N=(-∞,+∞),所以M∩N=M.
7.【解析】选B.集合M,N都是函数的定义域,其中M=[,+∞),N=(0,),所以M∩N=[,),其在实数集中补集(M∩N)=(-∞,)∪[,+∞).
8.【解析】选B.由题意可知,集合A=[2,+∞),集合B=(-∞,3)∪(3,+∞),
所以A∩B=[2,3)∪(3,+∞).
9.【解析】选B.E={1,2},E={-3,-2,-1,0,3},
F={…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,…},
所以(E)∩F={-3,-1,3}.
10.【解析】选A.A={x|}={x|0≤x≤2}=［0,2］,
B={y|y=2x2}={y|y≥0}=［0,+∞),
∴A∩B=［0,2］,A∪B=［0,+∞),
∴A×B=(2,+∞).
11.【解析】由题意可知6-x是8的正约数,所以6-x可以是1,2,4,8;相应的x可为5,4,2,即A={2,4,5}.
∴A的全部子集为∅ ,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}.
答案:∅ ,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}
12.【解析】由题设知解之得,2≤m≤3.
答案:[2,3]
13.【解析】A={x|x<-1或x>3},
∵A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},∴B={x|-1≤x≤4},
∴a=-(-1+4)=-3,b=(-1)×4=-4,
∴a+b=-7.
答案:-7
14.【解析】设x=a1+b1i,y=a2+b2i,a1,b1,a2,b2为整数,
则x+y=(a1+a2)+(b1+b2)i,x-y=(a1-a2)+(b1-b2)i,
xy=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,
由于a1,b1,a2,b2为整数,
故a1±a2,b1±b2,a1a2-b1b2,a1b2+a2b1都是整数,
所以x+y,x-y,xy∈S,
故集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集,①是真命题;若S是封闭集,且x=y∈S,则依据封闭集的定义,x-y=x-x=0∈S,故命题②正确;集合S={0},明显是封闭集,故封闭集不愿定是无限集,命题③不正确;集合S={0}⊆{0,1}=T⊆C,简洁验证集合T不是封闭集,故命题④不是真命题.
答案:①②
【方法技巧】集合新定义问题的解题技巧
这种新定义的题目关键就是抓住新定义的本质,紧扣新定义进行推理论证,本题中就是依据封闭集满足其集合中的任意两个元素的和、差、积还是这个集合中的元素.推断一个元素是不是集合中的元素,就看这个元素是否符合集合中代表元素的特征.
15.【解析】方法一:A={-2,-1},
由(A)∩B=∅ 得B⊆A,
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式:
Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅ ,
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,
∴B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.
方法二:本题集合B中的方程的根是x1=-1,x2=-m.
当-m≠-1时集合B={-1,-m},此时只能A=B,即m=2;当-m=-1时集合B={-1},此时集合B是集合A的真子集,也符合要求.∴m=1或2.
【变式备选】设A={x|x2+4x=0},
B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},
其中x∈R,假如A∩B=B,求实数a的取值范围.
【解析】由A∩B=B得B⊆A,而A={-4,0},
Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8,
当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=∅ ,符合B⊆A;
当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B⊆A;
当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而B⊆A={-4,0};
∴B={-4,0}得a=1.∴a=1或a≤-1.
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