2021高考数学专题辅导与训练配套练习：专题五-立体几何.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专题提升练(四)(专题五)(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一个简洁几何体的正视图、俯视图如图所示,则其侧视图不行能是()A.正方形B.圆C.等腰直角三角形D.直角梯形【解析】选D.当几何体是一个长方体,其中一个侧面为正方形时,A可能;当几何体是一个横放的圆柱时,B可能;当几何体是横放的三棱柱时,C可能;只有D不行能.2.(2022绍兴模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.1C.D.3【解析】选C.由三视图易知,该几何体是底面积为,高为3的三棱锥,由锥体的体积公式得V=3=.3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.75+2B.75+4C.48+4D.48+2【解析】选B.由三视图可知该几何体是一个四棱柱.两个底面的面积之和为23=27,四个侧面的面积之和为(3+4+5+)4=48+4,故表面积为75+4.4.(2022杭州模拟)已知直线l,m,平面,且l,m,则()A.若平面不平行于平面,则l不行能垂直于mB.若平面平行于平面,则l不行能垂直于mC.若平面不垂直于平面,则l不行能平行于mD.若平面垂直于平面,则l不行能平行于m【解析】选C.A中,l有可能与m垂直;B中,l必与m垂直;D中,l可能平行于m,C正确.5.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四周体ABCD(如图2),则在空间四周体ABCD中,AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直【解析】选C.在图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则ADBC,翻折后如图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段与AD垂直且交于一点,即ADBD,ADCD,BDCD=D,故AD平面BCD,所以ADBC.6.设三棱柱的侧棱垂直于底面,全部棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.a2B.a2C.a2D.5a2【解析】选B.依据题意作图如下(OB即为球的半径R):由图可知R2=+=,所以S球=4R2=a2.7.如图,PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的是()平面PAB平面PBC;平面PAB平面PAD;平面PAB平面PCD;平面PAB平面PAC.A.B.C. D.【解析】选A.易证BC平面PAB,则平面PAB平面PBC.又ADBC,故AD平面PAB,则平面PAD平面PAB,因此选A.8.已知三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OC=1,OA=x,OB=y,若x+y=4,则三棱锥体积的最大值是()A.B.C.1D.【解析】选B.由条件可知V三棱锥O-ABC=OAOBOC=xy=,当x=y=2时,取得最大值.9.已知三边长分别为3,4,5的ABC的外接圆恰好是球O的一个过球心的圆,P为球面上一点,若点P到ABC的三个顶点的距离相等,则三棱锥P-ABC的体积为()A.5B.10C.20D.30【解析】选A.易知ABC为直角三角形且点P在平面ABC上的射影为O,则OP=OA=OB=OC=R,又由于SABC=|AB|AC|sinA,由正弦定理可得sinA=,故|AB|AC|sinA=6,解得R=,故VP-ABC=SABCR=5.10.(2022温州模拟)已知点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一动点,且满足|PA|=2|PB|.设PD1与平面ABCD所成角为,则的最大值为()A.B.C.D.【解析】选B.如图,设正方体棱长为2,点P的轨迹为:以点Q为球心,以为半径的球与正方体表面的交线,即为如图的弧段EMG,GSF,FNE,要使得PD1与底面ABCD所成角最大,则PD1与底面ABCD的交点R与点D的距离最短,从而点P在弧段ENF上,故点P在弧段ENF上,且在QD上.从而DP=-=2,从而tan最大值为1,故最大值为.二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上)11.若正三棱锥的正(主)视图与俯视图如图(单位:cm),则它的侧(左)视图的面积为cm2.【解析】由该正三棱锥的正(主)视图和俯视图可知,其侧(左)视图为一个三角形,它的底边长等于俯视图的高即,高等于正(主)视图的高即,所以侧(左)视图的面积为S=(cm2).答案:12.在ABC中,ACB=90,AB=8,ABC=60,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为.【解析】如图,由于PC平面ABC,MC平面ABC,所以PCMC.故PM=.又由于MC的最小值为=2,所以PM的最小值为2.答案:213.(2022宁波模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.【解析】结合三视图可知,该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分,其直观图如图所示,故该几何体的体积为22sin602-22sin601=.答案:14.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF平面AB1C,则线段EF的长度等于.【解析】由EF平面AB1C,EF平面ABCD,平面ABCD平面AB1C=AC,知EFAC.所以由E是中点知EF=AC=.答案:15.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上,球心O在AB上,PO平面ABC,=,则三棱锥与球的体积之比为.【解析】依题意,AB=2R,又=,ACB=90,因此AC=R,BC=R,VP-ABC=POSABC=R=R3,而V球=R3,因此VP-ABCV球=R3R3=8.答案:816.如图,BAC=90,PC平面ABC,则ABC,PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有;与AP垂直的直线有.【解析】由于PC平面ABC,所以PC垂直于直线AB,BC,AC;由于ABAC,ABPC,ACPC=C,所以AB平面PAC,所以ABAP.即与AP垂直的直线是AB.答案:AB,BC,ACAB17.对于四周体ABCD,给出下列四个命题:若AB=AC,BD=CD,则BCAD;若AB=CD,AC=BD,则BCAD;若ABAC,BDCD,则BCAD;若ABCD,ACBD,则BCAD.其中真命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上).【解析】本题考查四周体的性质,取BC的中点E,则BCAE,BCDE,AEDE=E,所以BC平面ADE,所以BCAD,故正确.设O为A在面BCD上的射影,依题意OBCD,OCBD,所以O为垂心,所以ODBC,所以BCAD,故正确,易排解,故答案为.答案:三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,PAB=60.M是PD的中点.(1)证明:PB平面MAC.(2)证明:平面PAB平面ABCD.(3)求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)连接OM,由于M是PD中点,矩形ABCD中O为BD中点,所以OMPB.又OM平面MAC,PB平面MAC.所以PB平面MAC.(2)由题设知PA=2,AD=2,PD=2,有PA2+AD2=PD2,所以ADPA.在矩形ABCD中,ADAB.又PAAB=A,所以AD平面PAB.由于AD平面ABCD,所以平面PAB平面ABCD.(3)过点P作PHAB于点H.由于平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,所以PH平面ABCD.在RtPHA中,PH=PAsin60=2=,VP-ABCD=ABADPH=32=2.19.(14分)(2022龙岩模拟)如图所示的平面四边形ABCD中,ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形,BCD为正三角形,且BD=4,AC与BD交于点O(如图甲).现沿BD将平面四边形ABCD折成三棱锥A-BCD,使得折起后AOC=(0)(如图乙).(1)证明:不论在(0,)内为何值,均有ACBD.(2)当三棱锥A-BCD的体积为时,确定的大小.【解析】(1)易证ABCADC,可知AC是等腰ABD和等边BCD的角平分线,也是高,所以AOBD,COBD.由于在平面图形中,AOBD,COBD,折起后这种关系不变,且AOCO=O,所以折起后BD平面AOC,又AC平面AOC,故BDAC,即不论在(0,)内为何值,均有ACBD.(2)由(1)知BD平面AOC,又BD平面BCD,所以平面AOC平面BCD.过点A作AEOC于点E,由于平面AOC平面BCD=OC,所以AE平面BCD,即AE是三棱锥A-BCD的高,在RtAOE中,AE=AOsin=2sin,SBCD=44=4,故三棱锥A-BCD的体积为V=42sin=sin,当三棱锥A-BCD的体积为时,sin=1,=.20.(14分)(2022诸暨模拟)如图,在直角梯形ABCD中,ABC=DAB=90,AD=3,BC=2,AB=,E,F为AD上的两个三等分点,G,H分别为线段AB,BC的中点,将ABE沿直线BE翻折成A1BE,使平面A1BE平面BCDE.(1)求证:A1D平面FGH.(2)求直线A1D与平面A1BE所成角.(3)过点A1作平面与线段BC交于点J,使得平面垂直于BC,求CJ的长度.【解析】(1)由已知得BC=2=ED且BCED,故四边形BCDE为平行四边形,H,F为BC,ED的中点,连接BD,设BDHF=O,则易知O为BD的中点,连接GO,由G为A1B中点,知OGA1D.又GO平面FGH,A1D平面FGH,故A1D平面FGH.(或证平面A1CD平面FGH,又A1D平面A1CD,故A1D平面FGH)(2)在平面BCD内过点D作DMBE,交BE延长线于点M,连接A1M,由已知面A1BE平面BCD,且BE为两平面的交线,得DM平面A1BE,则DA1M即为直线A1D与平面A1BE所成的角,在DEM中,由DE=2,DEM=60,知DM=.在A1EM中,A1E=1,EM=1,A1EM=120,知A1M=,从而tanDA1M=1,所以DA1M=,即直线A1D与平面A1BE所成的角为.(3)过A1作A1KBE交BE于K,则由平面A1BE平面BCDE可得A1K平面BCDE,从而BCA1K,过K作KMBC交BC于M,则BC平面A1KM,由于过A1且与BC垂直的平面是唯一的,所以平面A1KM即平面,点M即点J,在RtA1BE中,BK=,所以在RtBKJ中,BJ=BK=,所以CJ=.21.(15分)(2022慈溪模拟)如图所示,平面四边形PACB中,PAB为直角,ABC为等边三角形,现把PAB沿着AB折起,使得平面APB与平面ABC垂直,且点M为AB的中点.(1)求证:平面PAB平面PCM.(2)若2PA=AB,求直线BC与平面PMC所成角的余弦值.【解析】(1)由于平面APB平面ABC且交线为AB,又由于PAB为直角,所以PA平面ABC,故APCM.又由于ABC为等边三角形,点M为AB的中点,所以CMAB.又由于PAAB=A,所以CM平面PAB.又CM平面PCM,所以平面PAB平面PCM.(2)假设PA=a,则AB=2a.方法一:(等体积法)VP-MBC=VB-PMC,PASMBC=hBSPMC,而三角形PMC为直角三角形,故面积为a2,故hB=a.所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值sin=,所以余弦值为.方法二:(向量坐标法)以点M为坐标原点,以MB为x轴,以MC为y轴,过M且平行于AP的直线为z轴建立空间直角坐标系,设PA=a,则M(0,0,0),P(-a,0,a),B(a,0,0),C(0,a,0),故=(0,a,0),=(-a,0,a),=(-2a,0,a).假设平面PMC的法向量为n=(x,y,z),则y=0,x=z,令x=1,故n=(1,0,1),则直线BC与平面PMC所成角的正弦值sin=,所以余弦值为cos=.22.(15分)如图,已知四棱锥S-ABCD是由直角梯形SABC沿着CD折叠而成,其中SD=DA=AB=BC=1,ASBC,ABAD,且二面角S-CD-A的大小为120.(1)求证:平面ASD平面ABCD.(2)设侧棱SC和底面ABCD所成角为,求的正弦值.【解析】(1)由于SD=DA=AB=BC=1,ASBC,ABAD,所以CDSD,CDAD.又ADSD=D,所以CD平面ASD.又由于CD平面ABCD,所以平面ASD平面ABCD.(2)过点S作SHAD,交AD的延长线于点H,连接CH.由于平面ASD平面ABCD,平面ASD平面ABCD=AD,所以SH平面ABCD.所以CH为侧棱SC在底面ABCD内的射影.所以SCH为侧棱SC和底面ABCD所成的角.在RtSHD中,SDH=180-ADS=180-120=60,SD=1,SH=SDsin60=.在RtSDC中,SDC=90,SD=AB=DC=1,所以SC=.在RtSHC中,sin=.即的正弦值为.关闭Word文档返回原板块