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2021届高考数学(文科-通用)二轮复习突破练-高考小题综合练(四)-Word版含答案.docx

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高考小题综合练(四) (推举时间:40分钟) 1.(2022·福建)复数z=(3-2i)i的共轭复数等于(  ) A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 答案 C 解析 由于z=(3-2i)i=3i-2i2=2+3i, 所以=2-3i,故选C. 2.“m=1”是“直线x-y=0和直线x+my=0相互垂直”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由于m=1时,两直线分别是直线x-y=0和直线x+y=0,两直线的斜率分别是1和-1.所以两直线垂直,所以充分性成立;当直线x-y=0和直线x+my=0相互垂直,则1×1+(-1)m=0,所以m=1,所以必要性成立.故选C. 3.(2022·湖南)若0<x1<x2<1,则(  ) A.e-e>ln x2-ln x1 B.e-e<ln x2-ln x1 C.x2e>x1e D.x2e<x1e 答案 C 解析 设f(x)=ex-ln x(0<x<1), 则f′(x)=ex-=. 令f′(x)=0,得xex-1=0. 依据函数y=ex与y=的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1),因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项不正确. 设g(x)=(0<x<1),则g′(x)=. 又0<x<1,∴g′(x)<0. ∴函数g(x)在(0,1)上是减函数. 又0<x1<x2<1,∴g(x1)>g(x2), ∴x2ex1>x1ex2. 4.(2022·新课标Ⅰ)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为(  ) 答案 B 解析 如图所示,当x∈(0,)时,则P(cos x,sin x),M(cos x,0),作MM′⊥OP,M′为垂足,则=sin x,∴=sin x,∴f(x)=sin xcos x=sin 2x,则当x=时,f(x)max=;当x∈(,π)时,有=sin(π-x),f(x)=-sin xcos x=-sin 2x,当x=时,f(x)max=.只有B选项的图象符合. 5.(2022·四川)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(  ) A.2 B.3 C. D. 答案 B 解析 设直线AB的方程为x=ny+m(如图), A(x1,y1),B(x2,y2), ∵·=2, ∴x1x2+y1y2=2. 联立得y2-ny-m=0, ∴y1y2=-m=-2, ∴m=2,即点M(2,0). 又S△ABO=S△AMO+S△BMO =|OM||y1|+|OM||y2|=y1-y2, S△AFO=|OF|·|y1|=y1, ∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+y1 =y1+≥2=3, 当且仅当y1=时,等号成立. 6.若不等式(a-a2)·(x2+1)+x≤0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围为(  ) A. B. C.∪ D. 答案 C 解析 ∵x∈(0,2],∴a2-a≥=. 要使a2-a≥在x∈(0,2]时恒成立, 则a2-a≥max,由基本不等式得x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即max=. 故a2-a≥,解得a≤或a≥. 故选C. 7.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是(  ) A.f(x)= B.f(x)=+ C.f(x)= D.f(x)=cos x 答案 C 解析 第一个推断框的目的是推断输入的函数是否为奇函数,其次个推断框的目的是推断输入的函数是否存在零点.结合选项,知函数f(x)=为奇函数,且存在零点. 8.已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的(  ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心) 答案 C 解析 由||=||=||知O为△ABC的外心. ∵·=·,∴(-)·=·=0,同理·=0,·=0,∴点P是△ABC的垂心,由++=0知+=-,结合向量加法的平行四边形法则知N为△ABC的重心.故选C. 9.函数y=,x∈∪的图象可能是下列图象中的(  ) 答案 C 解析 由函数y=,x∈∪是偶函数,排解A;又由函数y=sin 2x,y=2x,x∈的图象可知恒有2x>sin 2x,x∈,所以y=>,x∈,排解B和D,故选C. 10.函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有f()≤[f(x1)+f(x2)],则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;②f(x2)在[1,]上具有性质P;③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f()≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]. 其中真命题的序号是(  ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 答案 D 解析 ①中,反例:取函数 f(x)=则函数f(x)满足题设条件具有性质P,但函数f(x)的图象不是连续的. ②中,反例:f(x)=-x在[1,3]上具有性质P,f(x2)=-x2在[1,]上不具有性质P. ③中,在[1,3]上,f(2)=f()≤[f(x)+f(4-x)]⇒⇒f(x)=1, 所以,对于任意x1,x2∈[1,3],f(x)=1. ④中,f()=f() ≤[f()+f()] ⇒[(f(x1)+f(x2))+(f(x3)+f(x4))] ≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]. 由以上推断可知①②错误,③④正确. 11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为________. 答案  解析 过点P作PH垂直上底面A1B1C1D1,过点E作线段EE1垂直底面A1B1C1D1,E1在线段B1C1上,点P到线段CC1的距离PP1=HC1.当点P在线段ED1上运动时,其最小值为点C1到线段D1E1的距离,所以最小值就是△C1D1E1的高为. 12.已知集合A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},若A=B,则x=________,y=________. 答案 -1 -1 解析 由A=B知需分多种状况进行争辩, 由lg(xy)有意义,则xy>0. 又0∈B=A,则必有lg(xy)=0,即xy=1. 此时,A=B,即{0,1,x}={0,|x|,y}. ∴或解得x=y=1或x=y=-1. 当x=y=1时, A=B={0,1,1}与集合元素的互异性冲突,应舍去; 当x=y=-1时, A=B={0,-1,1}满足题意,故x=y=-1. 13.若正实数x,y,z满足x+y+z=1,则+的最小值是________. 答案 3 解析 ∵x+y+z=1,且x,y,z都是正实数,∴+=+=1++≥3. 14.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各项点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等于________. 答案 8π 解析 由已知条件得:×2×1×sin 60°×AA1=, ∴AA1=2, ∵BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos 60°,∴BC=, 设△ABC的外接圆的半径为R,则=2R, ∴R=1, ∴外接球的半径为=, ∴球的表面积等于4π()2=8π. 15.若函数f(x)=xn+1(n∈N*)的图象与直线x=1交于点P,且在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2 013x1+log2 013x2+log2 013x3+…+log2 013x2 012的值为________. 答案 -1 解析 将x=1代入函数式得f(1)=1n+1=1,即P(1,1),对函数求导得f′(x)=(n+1)xn,则f′(1)=(n+1)×1n=n+1,则在点P(1,1)处的切线为y-1=(n+1)(x-1),y=(n+1)x-n,令y=0得xn=,又log2 013x1+log2 013x2+log2 013x3+…+log2 013x2 012=log2 013(x1·x2·x3·…·x2 012)=log2 013(···…·)=log2 013()=-1.
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