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高考小题综合练(四)
(推举时间：40分钟)
1．(2022·福建)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
答案 C
解析 由于z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i，
所以＝2－3i，故选C.
2．“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0相互垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由于m＝1时，两直线分别是直线x－y＝0和直线x＋y＝0，两直线的斜率分别是1和－1.所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x－y＝0和直线x＋my＝0相互垂直，则1×1＋(－1)m＝0，所以m＝1，所以必要性成立．故选C.
3．(2022·湖南)若0<x1<x2<1，则( )
A．e－e>ln x2－ln x1
B．e－e<ln x2－ln x1
C．x2e>x1e
D．x2e<x1e
答案 C
解析 设f(x)＝ex－ln x(0<x<1)，
则f′(x)＝ex－＝.
令f′(x)＝0，得xex－1＝0.
依据函数y＝ex与y＝的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A，B选项不正确．
设g(x)＝(0<x<1)，则g′(x)＝.
又0<x<1，∴g′(x)<0.
∴函数g(x)在(0,1)上是减函数．
又0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)，
∴x2ex1>x1ex2.
4．(2022·新课标Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )
答案 B
解析 如图所示，当x∈(0，)时，则P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，作MM′⊥OP，M′为垂足，则＝sin x，∴＝sin x，∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，则当x＝时，f(x)max＝；当x∈(，π)时，有＝sin(π－x)，f(x)＝－sin xcos x＝－sin 2x，当x＝时，f(x)max＝.只有B选项的图象符合．
5．(2022·四川)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2 B．3
C. D.
答案 B
解析 设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵·＝2，
∴x1x2＋y1y2＝2.
联立得y2－ny－m＝0，
∴y1y2＝－m＝－2，
∴m＝2，即点M(2,0)．
又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO
＝|OM||y1|＋|OM||y2|＝y1－y2，
S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1，
∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1
＝y1＋≥2＝3，
当且仅当y1＝时，等号成立．
6．若不等式(a－a2)·(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0,2]恒成立，则a的取值范围为( )
A.
B.
C.∪
D.
答案 C
解析 ∵x∈(0,2]，∴a2－a≥＝.
要使a2－a≥在x∈(0,2]时恒成立，
则a2－a≥max，由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，即max＝.
故a2－a≥，解得a≤或a≥.
故选C.
7．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝＋
C．f(x)＝ D．f(x)＝cos x
答案 C
解析 第一个推断框的目的是推断输入的函数是否为奇函数，其次个推断框的目的是推断输入的函数是否存在零点．结合选项，知函数f(x)＝为奇函数，且存在零点．
8．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)
答案 C
解析 由||＝||＝||知O为△ABC的外心．
∵·＝·，∴(－)·＝·＝0，同理·＝0，·＝0，∴点P是△ABC的垂心，由＋＋＝0知＋＝－，结合向量加法的平行四边形法则知N为△ABC的重心．故选C.
9．函数y＝，x∈∪的图象可能是下列图象中的( )
答案 C
解析 由函数y＝，x∈∪是偶函数，排解A；又由函数y＝sin 2x，y＝2x，x∈的图象可知恒有2x>sin 2x，x∈，所以y＝>，x∈，排解B和D，故选C.
10．函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f()≤[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1，]上具有性质P；③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1,3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f()≤[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．
其中真命题的序号是( )
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
答案 D
解析 ①中，反例：取函数
f(x)＝则函数f(x)满足题设条件具有性质P，但函数f(x)的图象不是连续的．
②中，反例：f(x)＝－x在[1,3]上具有性质P，f(x2)＝－x2在[1，]上不具有性质P.
③中，在[1,3]上，f(2)＝f()≤[f(x)＋f(4－x)]⇒⇒f(x)＝1，
所以，对于任意x1，x2∈[1,3]，f(x)＝1.
④中，f()＝f()
≤[f()＋f()]
⇒[(f(x1)＋f(x2))＋(f(x3)＋f(x4))]
≤[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．
由以上推断可知①②错误，③④正确．
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．
答案
解析 过点P作PH垂直上底面A1B1C1D1，过点E作线段EE1垂直底面A1B1C1D1，E1在线段B1C1上，点P到线段CC1的距离PP1＝HC1.当点P在线段ED1上运动时，其最小值为点C1到线段D1E1的距离，所以最小值就是△C1D1E1的高为.
12．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，则x＝________，y＝________.
答案 －1 －1
解析 由A＝B知需分多种状况进行争辩，
由lg(xy)有意义，则xy>0.
又0∈B＝A，则必有lg(xy)＝0，即xy＝1.
此时，A＝B，即{0,1，x}＝{0，|x|，y}．
∴或解得x＝y＝1或x＝y＝－1.
当x＝y＝1时，
A＝B＝{0,1,1}与集合元素的互异性冲突，应舍去；
当x＝y＝－1时，
A＝B＝{0，－1,1}满足题意，故x＝y＝－1.
13．若正实数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则＋的最小值是________．
答案 3
解析 ∵x＋y＋z＝1，且x，y，z都是正实数，∴＋＝＋＝1＋＋≥3.
14．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于________．
答案 8π
解析 由已知条件得：×2×1×sin 60°×AA1＝，
∴AA1＝2，
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos 60°，∴BC＝，
设△ABC的外接圆的半径为R，则＝2R，
∴R＝1，
∴外接球的半径为＝，
∴球的表面积等于4π()2＝8π.
15．若函数f(x)＝xn＋1(n∈N*)的图象与直线x＝1交于点P，且在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 013x1＋log2 013x2＋log2 013x3＋…＋log2 013x2 012的值为________．
答案 －1
解析 将x＝1代入函数式得f(1)＝1n＋1＝1，即P(1,1)，对函数求导得f′(x)＝(n＋1)xn，则f′(1)＝(n＋1)×1n＝n＋1，则在点P(1,1)处的切线为y－1＝(n＋1)(x－1)，y＝(n＋1)x－n，令y＝0得xn＝，又log2 013x1＋log2 013x2＋log2 013x3＋…＋log2 013x2 012＝log2 013(x1·x2·x3·…·x2 012)＝log2 013(···…·)＝log2 013()＝－1.
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