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高考小题综合练(四)
(推举时间:40分钟)
1.(2022·福建)复数z=(3-2i)i的共轭复数等于( )
A.-2-3i B.-2+3i
C.2-3i D.2+3i
答案 C
解析 由于z=(3-2i)i=3i-2i2=2+3i,
所以=2-3i,故选C.
2.“m=1”是“直线x-y=0和直线x+my=0相互垂直”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由于m=1时,两直线分别是直线x-y=0和直线x+y=0,两直线的斜率分别是1和-1.所以两直线垂直,所以充分性成立;当直线x-y=0和直线x+my=0相互垂直,则1×1+(-1)m=0,所以m=1,所以必要性成立.故选C.
3.(2022·湖南)若0<x1<x2<1,则( )
A.e-e>ln x2-ln x1
B.e-e<ln x2-ln x1
C.x2e>x1e
D.x2e<x1e
答案 C
解析 设f(x)=ex-ln x(0<x<1),
则f′(x)=ex-=.
令f′(x)=0,得xex-1=0.
依据函数y=ex与y=的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1),因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项不正确.
设g(x)=(0<x<1),则g′(x)=.
又0<x<1,∴g′(x)<0.
∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.
又0<x1<x2<1,∴g(x1)>g(x2),
∴x2ex1>x1ex2.
4.(2022·新课标Ⅰ)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )
答案 B
解析 如图所示,当x∈(0,)时,则P(cos x,sin x),M(cos x,0),作MM′⊥OP,M′为垂足,则=sin x,∴=sin x,∴f(x)=sin xcos x=sin 2x,则当x=时,f(x)max=;当x∈(,π)时,有=sin(π-x),f(x)=-sin xcos x=-sin 2x,当x=时,f(x)max=.只有B选项的图象符合.
5.(2022·四川)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2 B.3
C. D.
答案 B
解析 设直线AB的方程为x=ny+m(如图),
A(x1,y1),B(x2,y2),
∵·=2,
∴x1x2+y1y2=2.
联立得y2-ny-m=0,
∴y1y2=-m=-2,
∴m=2,即点M(2,0).
又S△ABO=S△AMO+S△BMO
=|OM||y1|+|OM||y2|=y1-y2,
S△AFO=|OF|·|y1|=y1,
∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+y1
=y1+≥2=3,
当且仅当y1=时,等号成立.
6.若不等式(a-a2)·(x2+1)+x≤0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围为( )
A.
B.
C.∪
D.
答案 C
解析 ∵x∈(0,2],∴a2-a≥=.
要使a2-a≥在x∈(0,2]时恒成立,
则a2-a≥max,由基本不等式得x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即max=.
故a2-a≥,解得a≤或a≥.
故选C.
7.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )
A.f(x)= B.f(x)=+
C.f(x)= D.f(x)=cos x
答案 C
解析 第一个推断框的目的是推断输入的函数是否为奇函数,其次个推断框的目的是推断输入的函数是否存在零点.结合选项,知函数f(x)=为奇函数,且存在零点.
8.已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的( )
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
(注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心)
答案 C
解析 由||=||=||知O为△ABC的外心.
∵·=·,∴(-)·=·=0,同理·=0,·=0,∴点P是△ABC的垂心,由++=0知+=-,结合向量加法的平行四边形法则知N为△ABC的重心.故选C.
9.函数y=,x∈∪的图象可能是下列图象中的( )
答案 C
解析 由函数y=,x∈∪是偶函数,排解A;又由函数y=sin 2x,y=2x,x∈的图象可知恒有2x>sin 2x,x∈,所以y=>,x∈,排解B和D,故选C.
10.函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有f()≤[f(x1)+f(x2)],则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:
①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;②f(x2)在[1,]上具有性质P;③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f()≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].
其中真命题的序号是( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
答案 D
解析 ①中,反例:取函数
f(x)=则函数f(x)满足题设条件具有性质P,但函数f(x)的图象不是连续的.
②中,反例:f(x)=-x在[1,3]上具有性质P,f(x2)=-x2在[1,]上不具有性质P.
③中,在[1,3]上,f(2)=f()≤[f(x)+f(4-x)]⇒⇒f(x)=1,
所以,对于任意x1,x2∈[1,3],f(x)=1.
④中,f()=f()
≤[f()+f()]
⇒[(f(x1)+f(x2))+(f(x3)+f(x4))]
≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].
由以上推断可知①②错误,③④正确.
11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为________.
答案
解析 过点P作PH垂直上底面A1B1C1D1,过点E作线段EE1垂直底面A1B1C1D1,E1在线段B1C1上,点P到线段CC1的距离PP1=HC1.当点P在线段ED1上运动时,其最小值为点C1到线段D1E1的距离,所以最小值就是△C1D1E1的高为.
12.已知集合A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},若A=B,则x=________,y=________.
答案 -1 -1
解析 由A=B知需分多种状况进行争辩,
由lg(xy)有意义,则xy>0.
又0∈B=A,则必有lg(xy)=0,即xy=1.
此时,A=B,即{0,1,x}={0,|x|,y}.
∴或解得x=y=1或x=y=-1.
当x=y=1时,
A=B={0,1,1}与集合元素的互异性冲突,应舍去;
当x=y=-1时,
A=B={0,-1,1}满足题意,故x=y=-1.
13.若正实数x,y,z满足x+y+z=1,则+的最小值是________.
答案 3
解析 ∵x+y+z=1,且x,y,z都是正实数,∴+=+=1++≥3.
14.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各项点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等于________.
答案 8π
解析 由已知条件得:×2×1×sin 60°×AA1=,
∴AA1=2,
∵BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos 60°,∴BC=,
设△ABC的外接圆的半径为R,则=2R,
∴R=1,
∴外接球的半径为=,
∴球的表面积等于4π()2=8π.
15.若函数f(x)=xn+1(n∈N*)的图象与直线x=1交于点P,且在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2 013x1+log2 013x2+log2 013x3+…+log2 013x2 012的值为________.
答案 -1
解析 将x=1代入函数式得f(1)=1n+1=1,即P(1,1),对函数求导得f′(x)=(n+1)xn,则f′(1)=(n+1)×1n=n+1,则在点P(1,1)处的切线为y-1=(n+1)(x-1),y=(n+1)x-n,令y=0得xn=,又log2 013x1+log2 013x2+log2 013x3+…+log2 013x2 012=log2 013(x1·x2·x3·…·x2 012)=log2 013(···…·)=log2 013()=-1.
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