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第三节
二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析 依据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0.即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.
答案 B
2．已知实数对(x，y)满足则2x＋y取最小值时的最优解是( )
A．6 B．3
C．(2,2) D．(1,1)
解析 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作初始直线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3.
答案 D
3．(2022·广东卷)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域)．作直线l0：y＝－2x，平移直线l0，由图形可知，当l0经过可行域内的点A(2，－1)时，z取最
大值，即m＝2×2＋(－1)＝3；当l0经过可行域内的点B(－1，－1)时，z取最小值，即n＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m－n＝3－(－3)＝6.故选B.
答案 B
4．(2022·浙江温州十校联考)当变量x，y满足约束条件时，z＝x－3y的最大值为8，则实数m的值是( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析 画出可行域，如图所示，目标函数z＝x－3y变形为y＝－，当直线过点C时，z取到最大值，
又C(m，m)，所以8＝m－3m，解得m＝－4.
答案 A
5．已知x，y满足不等式组且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝( )
A．0 B.
C. D．1
解析 依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z＝2x＋y在A点和B点处分别取得最小值和最大值．由得A(a，a)，由得B(1，1)．
∴zmax＝3，zmin＝3a.∴a＝.
答案 B
6．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x＋y＝0上任意一点，O为坐标原点，则|＋|的最小值为( )
A. B.
C. D．1
解析 在直线2x＋y＝0上取一点Q′，使得＝，则|＋|＝|＋|＝||≥||≥||，其中P′，B分别为点P，A在直线2x＋y＝0上的投影，如图：
由于||＝＝，因此|＋|min＝，故选A.
答案 A
二、填空题
7．在平面直角坐标系xOy中，若点P(m，1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝________.
解析 由题意得＝4及2m＋1≥3，解得m＝6.
答案 6
8．(2022·北京卷)若x，y满足则z＝x＋y的最小值为________．
解析 如图，作出不等式组表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数z＝x＋y可化为y＝－x＋z，作出直线l0：y＝－x并平移．
由于kAB＝－1>－，所以当直线过点A时，z取最小值．
由解得A(0,1)，所以z的最小值为z＝×0＋1＝1.
答案 1
9．设关于x，y的不等式组表示的平
面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．
解析 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示：
要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，必需使点A位于直线x－2y－2＝0的右下侧，即m－2(－m)－2>0，∴m>.
答案
三、解答题
10．画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
解 (1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合．x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．
所以，不等式组表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
11．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值．
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解 (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4<a<2.
故所求a的取值范围为(－4,2)．
1．(2022·新课标全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件
且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析 当a＝0时明显不满足题意．
当a>0时，画出可行域(如图(1)所示的阴影部分)，
又z＝x＋ay，所以y＝－x＋z，因此当直线y＝－x＋z经过可行域中的A时，z取最小值，于是＋a·＝7，解得a＝3(a＝－5舍去)；
当a<0时，画出可行域(如图(2)所示的阴影部分)，
又z＝x＋ay，所以y＝－x＋z，明显直线y＝－x＋z的截距没有最大值，即z没有最小值，不合题意．
综上，a的值为3，故选B.
答案 B
2．(2022·西宁联考)已知0<a<1，若loga(2x－y＋1)<loga(3y－x＋2)，且λ<x＋y，则λ的最大值为________．
解析 λ<x＋y，只需λ<x＋y的最小值，
作出可行域如图所示，当(x，y)无限靠近(－1，－1)时，x＋y无限靠近－2，且大于－2.从而λ≤－2，即λ有最大值－2.
答案 －2
3．(2021·湖北黄冈月考)已知实数x，y满足则的最小值是________．
解析 可行域如图所示，令＝k，所以y＝.当k<0时抛物线的开口向下，不合条件．当k>0时，有两种状况：当k取最小值即抛物线过点A.所以的最小值是；当抛物线y＝与直线x－y－1＝0相切时，联立方程组消掉y得到x2－kx＋k＝0，∴Δ＝k2－4k＝0，∴k＝4，此时的最小值是4.综上可知的最小值是4.
答案 4
4．已知x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝2x＋y的最大值和最小值；
(2)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；
(3)求z＝的取值范围．
解 作可行域如图所示．
(1)作直线l：2x＋y＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A点时，z取最小值；当平移直线过可行域内的B点时，z取得最大值．
解得A.
解得B(5,3)．
∴zmax＝2×5＋3＝13，zmin＝2×1＋＝.
(2)一般状况下，当z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z＝ax＋y平行于直线3x＋5y＝30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解有很多个．
又kBC＝－，∴－a＝－.∴a＝.
(3)z＝＝，可看作区域内的点(x，y)与点D(－5，－5)连线的斜率，
由图可知，kBD≤z≤kCD.
∵kBD＝＝，kCD＝＝，
∴z＝的取值范围是.
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