【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第4章-第6节-正弦定理和余弦定理.docx

第四章　第六节

一、选择题
1．(文)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝2，且三角形有两解，则角A的取值范围是(　　)
A.　　　　　 B．
C. D．
[答案]　A
[解析]　由条件知bsinA<a，即2sinA<2，∴sinA<，
∵a<b，∴A<B，∴A为锐角，∴0<A<.
(理)在△ABC中，已知A＝60°，b＝4，为使此三角形只有一解，a满足的条件是(　　)
A．0<a<4　　　　 B．a＝6
C．a≥4或a＝6 D．0<a≤4或a＝6
[答案]　C
[解析]　∵b·sinA＝4·sin60°＝6，
∴要使△ABC只有一解，应满足a＝6或a≥4.
如图

顶点B可以是B1、B2或B3.
2．(2022·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为(　　)
A．(，) B．(1，)
C．(，2) D．(0,2)
[答案]　A
[解析]　由＝＝，则b＝2cosA.<A＋B＝3A<π，从而<A<，又B＝2A<，
所以A<，所以有<A<，<cosA<，所以<b<.
3．(文)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C＝120°，c＝a，则(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
[答案]　A
[解析]　∵∠C＝120°，c＝a，c2＝a2＋b2－2abcosC
∴a2－b2＝ab，
又∵a>0，b>0，∴a－b＝>0，所以a>b.
(理)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案]　A
[解析]　由sinC＝2sinB可得c＝2b，
由余弦定理得cosA＝＝＝＝，于是A＝30°.
4．(2022·东北三省三校二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　)
A. B．
C. D．
[答案]　C
[解析]　∵＝＝，∴c2－b2＝ac－a2，∴a2＋c2－b2＝ac，∴2accosB＝ac，∴cosB＝，∵B∈(0，π)，∴B＝.
5．(2022·大城一中月考)在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为(　　)
A. B．
C. D．3
[答案]　B
[解析]　设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∵·＝|－|＝3，∴bccosA＝a＝3.又cosA＝≥1－＝1－，∴cosA≥，∴0<sinA≤，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝tanA≤×＝，故△ABC面积的最大值为.
6．(文)(2021·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC等于(　　)
A. B．
C. D．2
[答案]　C
[解析]　由角A，B，C依次成等差数列，得A＋C＝2B，解得B＝.由余弦定理得()2＝1＋c2－2ccos，解得c＝2或c＝－1(舍去)．于是，S△ABC＝acsinB＝×1×2sin＝.
(理)(2021·浙江宁波十校联考)在△ABC中，a2tanB＝b2tanA，则角A与角B的关系是(　　)
A．A＝B B．A＋B＝90°
C．A＝B或A＋B＝90° D．A＝B且A＋B＝90°
[答案]　C
[解析]　由已知条件a2tanB＝b2tanA⇒sin2A＝sin2B，由于A，B为三角形内角，所以有2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°.
二、填空题
7．(2022·弋阳一中月考)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为________．
[答案]　2
[解析]　由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，
由正弦定理得＝＝2.
8．(2022·江西四校联考)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________．
[答案]　
[解析]　依题意及余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即9＝(2b)2＋b2－2×2b×bcos，解得b2＝3，∴b＝.
9．(文)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．
[答案]　<c<
[解析]　边c最长时(c≥2)，
cosC＝＝>0，
∴c2<5.∴2≤c<.
边b最长时(c<2)，cosB＝＝>0，
∴c2>3.∴<c<2.
综上，<c<.
(理)在△ABC中，C＝60°，a、b、c分别为A、B、C的对边，则＋＝________.
[答案]　1
[解析]　∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)，
∴＋＝1.
三、解答题
10．(文)(2022·安徽理)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin(A＋)的值．
[解析]　(1)由于A＝2B，
所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，
由正、余弦定理得a＝2b·，
由于b＝3，c＝1，
所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－，
由于0<A<π，所以sinA＝＝＝，
故sin(A＋)＝sinAcos＋cosAsin
＝×＋(－)×＝.
(理)(2022·陕西理)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a、b、c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；
(2)若a、b、c成等比数列，求cosB的最小值.
[解析]　(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.
∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
由余弦定理得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时，等号成立．
∴cosB的最小值为.

一、选择题
11．(文)(2021·呼和浩特第一次统考)在△ABC中，假如sinA＝sinC，B＝30°，角B所对的边长b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A．4　　 B．1　　　　
C.　　 D．2
[答案]　C
[解析]　据正弦定理将角化边得a＝c，再由余弦定理得c2＋(c)2－2c2cos30°＝4，解得c＝2，故S△ABC＝×2×2×sin30°＝.
(理)(2021·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，且b2＋c2＝a2＋bc，则2sinBcosC－sin(B－C)的值为(　　)
A. B．
C. D．
[答案]　D
[解析]　利用余弦定理，得cosA＝＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，B＋C＝，
所以2sinBcosC－sin(B－C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝sin(B＋C)＝.
12．(2021·浙江五校其次次联考)若△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝(　　)
A．5 B．25
C. D．5
[答案]　A
[解析]　解法1：由S△ABC＝acsin45°＝2⇒c＝4，
再由余弦定理可得b＝5.
解法2：作三角形ABC中AB边上的高CD，
在Rt△BDC中求得高CD＝，结合面积求得
AB＝4，AD＝，从而b＝＝5.
13．(2022·长春市调研)△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足＋≥1，则角A的取值范围是(　　)
A．(0，] B．(0，]
C．[，π) D．[，π)
[答案]　A
[解析]　由＋≥1得：b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得：b2＋c2－a2≥bc ，同除以2bc得，≥，即cosA≥，由于0<A<π，所以0<A ≤，故选A.
14．若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为(　　)
A．2 B．
C. D．3
[答案]　A
[解析]　设BC＝x，则AC＝x，依据面积公式得S△ABC＝×AB×BCsinB＝x　①，依据余弦定理得cosB＝＝＝　②，将②代入①得，S△ABC＝x＝，由三角形的三边关系得，解得2－2<x<2＋2，故当x＝2时，S△ABC取得最大值2，故选A.
二、填空题
15．(文)(2022·河南名校联考)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．
[答案]　
[解析]　∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab＝2abcos60°，∴ab＝.
(理)(2022·衡水中学5月模拟)在△ABC中，P是BC边中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＋a＋b＝0，则△ABC的外形为________．
[答案]　等边三角形
[解析]　∵c＋a＋b＝0，∴(a－c)＋b＋c＝0，∵P为BC的中点，∴＝－，∴(a－c)＋(b－c)＝0，∵与不共线，∴a－c＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c.
16．(2022·吉林九校联合体联考)在△ABC中，C＝60°，AB＝，AB边上的高为，则AC＋BC＝________.
[答案]　
[解析]　由条件××＝AC·BC·sin60°，
∴AC·BC＝，
由余弦定理知AC2＋BC2－3＝2AC·BC·cos60°，
∴AC2＋BC2＝3＋AC·BC，
∴(AC＋BC)2＝AC2＋BC2＋2AC·BC＝3＋3AC·BC＝11，∴AC＋BC＝.
三、解答题
17．(文)(2022·浙江理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC的面积．
[解析]　(1)由已知cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB得．
(1＋cos2A)－(1＋cos2B)＝sin2A－sin2B，
∴cos2A－sin2A＝cos2B－sin2B，
即sin(－＋2A)＝sin(－＋2B)，
∴－＋2A＝－＋2B或－＋2A－＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，
∵a≠b，∴A＋B＝，∴∠C＝.
(2)由(1)知sinC＝，cosC＝，
∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝
由正弦定理得：＝，
又∵c＝，sinA＝.∴a＝.
∴S△ABC＝acsinB＝.
(理)(2021·沈阳市东北育才学校一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，sinA＝.
(1)求sinB的值；
(2)若c－a＝5－，求△ABC的面积．
[解析]　(1)由于C＝，sinA＝，
所以cosA＝＝，
由已知得B＝－A.
所以sinB＝sin(－A)＝sincosA－cossinA
＝·－·＝.
(2)由(1)知C＝，所以sinC＝且sinB＝.
由正弦定理得＝＝.
又由于c－a＝5－，所以c＝5，a＝.
所以S△ABC＝acsinB＝××5×＝.
18．(文)(2022·广东五校协作体其次次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是△ABC的面积．
若a＝(2cosB,1)，b＝(－1,1)，且a∥b.
(1)求tanB＋sinB的值；
(2)若a＝8，S＝8，求tanA的值．
[解析]　(1)∵a∥b，∴2cosB＝－1，cosB＝－.
∵B∈(0，π)，∴B＝，
∴tanB＋sinB＝－＋＝－.
(2)S＝acsinB＝2c＝8，∴c＝4.
方法一：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝112，
∴b＝4.
再由余弦定理得cosA＝.
∵A为锐角，∴tanA＝.
方法二：由正弦定理得sinA＝2sinC.
∵B＝，∴A＋C＝，∴C＝－A.
∴sinA＝2sin(－A)，即sinA＝cosA－sinA.
∴cosA＝2sinA，∴tanA＝.
(理)(2022·福建莆田一中月考)已知a＝(2cosx＋2sinx,1)，b＝(y，cosx)，且a∥b.
(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)记f(x)的最大值为M，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f()＝M，且a＝2，求bc的最大值．
[解析]　(1)由a∥b得2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，
即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1
＝2sin(2x＋)＋1，
所以f(x)＝2sin(2x＋)＋1.
又T＝＝＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)易得M＝3，
于是由f()＝M＝3，即2sin(A＋)＋1＝3，得sin(A＋)＝1，
由于A为三角形的内角，故A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，解得bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，bc取最大值4.