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阶段检测试题二
一、选择题(每小题5分，共10小题，共50分．从给出的A、B、C、D四个选项中选出唯一正确的答案填在题后的括号内)
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．
C. D．>1，这样的函数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 由题意可知，只有f(1)＝，f()＝成立．
答案 A
8．函数f(x)的图象是如图所示折线段OAB，若A(1,2)，B(3,0)，函数g(x)＝(x－1)f(x)，则函数g(x)的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析 f(x)＝
∴g(x)＝
∴当x∈时，g(x)的最大值为g(0)＝0；
当x∈(1,3]时，g(x)的最大值为g(2)＝1.
综上所述，f(x)在上的最大值为1.
答案 B
9．已知y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的全部实根之和是( )
A．4 B．2
C．1 D．0
解析 由于f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点，这四个交点每组两个，且关于原点肯定是对称的，所以这四个交点的横坐标之和是0，即方程f(x)＝0的全部实根之和是0.
答案 D
10．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c(b，c∈R)，则下列说法正确的个数为( )
①c＝0时，y＝f(x)是奇函数；②y＝f(x)的图象关于(0，c)对称；③b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；④y＝f(x)至多有2个零点．
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，
满足f(－x)＝－f(x)，
∴当c＝0时，f(x)是奇函数，它的图象关于原点对称．
∵f(x)的图象是由函数y＝x|x|＋bx的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移|c|个单位得到，
∴f(x)的图象关于点(0，c)对称．
当b＝0时，f(x)＝x|x|＋c＝0.
∵c>0，∴x<0，x＝－.
当b<0，c＝0时，f(x)有三个零点，即x＝0，x＝±b.
综上所述，①②③正确，④错误．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共4小题，共20分．把正确答案写在横线上)
11．若f＝，则函数f(x)＝________.
答案 (x≠0，且x≠－1)
12．若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋2是偶函数，则f(x)的递减区间为________．
解析 ∵f(x)是偶函数，∴k－1＝0，即k＝1，
∴f(x)＝x2＋2，∴f(x)递减区间为(－∞，0)．
答案 (－∞，0)
13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(4＋x)＝f(x)＋1，则f(2)＝________.
解析 令x＝－2，则f(2)＝f(－2)＋1.
∵f(x)是奇函数，∴2f(2)＝1，∴f(2)＝.
答案
14．王老师给出了一个函数y＝f(x)，四个同学甲、乙、丙、丁各指出了这个函数的一共性质：
甲：对于x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)；
乙：f(x)在(－∞，0]上是减函数；
丙：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
丁：f(0)不是f(x)的最小值．
现已知其中恰有三人说的正确，则这个函数可能是________(只需写出一个这样的函数即可)．
解析 甲、乙、丁正确，这个函数可以是y＝(x－1)2，答案不唯一．
答案 y＝(x－1)2(答案不唯一)
三、解答题(15、16、17题每题12分，18题14分，共50分．写出必要的演算步骤)
15．已知函数f(x)＝.
(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗？
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值．
解 (1)∵f(3)＝＝－≠14，
∴点(3,14)不在f(x)的图象上．
(2)当x＝4时，f(4)＝＝－3.
(3)若f(x)＝2，则＝2，
∴2x－12＝x＋2，∴x＝14.
16．设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是时，求函数f(x)的值域．
解 (1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴－3和2是方程ax2＋(b－8) x－a－ab＝0的两根，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②
①－②得b＝a＋8.③
将③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，
即a2＋3a＝0.
∵a≠0，∴a＝－3.∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－32＋＋18.
图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18.
∴函数f(x)的值域是．
17．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发觉此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
销售单价x(元)
30
40
45
50
日销售量y(件)
60
30
15
0
(1)在所给坐标系中，依据表中供应的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，依据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
解 (1)坐标系画点略．
设f(x)＝kx＋b，则解得
∴f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50检验成立．
(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500,30≤x≤50.
∵对称轴x＝－＝40∈，
∴当销售单价为40元时，所获利润最大．
18．设f(x)是定义在上的奇函数，且对任意a，b∈，a－b≠0时，都有<0.
(1)求实数m的值；
(2)解不等式f(2x－3)>f(x＋1)．
解 (1)由于f(x)是定义在上的奇函数，所以2m＋2－m＝0，m＝－2.
(2)m＝－2时，f(x)的定义域为．
设x1，x2∈，且x1<x2，则x1－x2<0.
∵对任意a，b∈，
当a－b≠0时，都有<0，
∴<0.
∵x1－x2<0，f(x1)－f(x2)>0，
所以，函数f(x)在上是单调减函数．
由f(2x－3)>f(x＋1)得
解得－≤x≤3，
所以原不等式的解集为.
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