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嘉兴市第一中学高三班级阶段性练习卷
数学(文科) 试题卷
命题:计振明 审题: 孙其根
满分[ 150]分 ,时间[120]分钟 2021年10月
第I卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设R为实数集,集合,,则( ▲ )
A、 B、 C、 D、
2.“”是“”的( ▲ )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是( ▲ )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
4.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为( ▲ )
A.7 B.8 C.9 D.14
5.已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),则tanθ=( ▲ )
A. B. C. D.
6.点M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1,A1D1的中点,用过点A,M,N和点D,N,C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图所示,则该几何体的主视图、左视图、俯视图依次为( ▲ )
A.①③④ B.②④③ C.①②③ D.②③④
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y-3)2=1相切,则双曲线的离心率为( ▲ )
A. 2 B. C. D.3
8.如图,已知在四棱锥中,底面是菱形, 底面,,则四棱锥的体积的取值范围是( ▲ )
A. B. C. D.
2,4,6
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:(本大题共7小题, 前4题每空3分,后3题每空4分, 共36分.)
9.已知,则函数的最小正周期为 ▲ ,= ▲ .
10.已知函数则 ▲ ,的最大值是 ▲ .
11.已知数列是公比为的单调递增的等比数列,且则 ▲ , ▲ .
12.若函数f(x)=的图象关于原点对称,则a= ▲ ,则的单调递减区间为 ▲ .
13.设x,y,z均为大于1的实数,且z为x和y的等比中项,则的最小值为 ▲ .
14.在平行四边形ABCD中,=3,则线段AC的长为 ▲ .
15.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x+1)2+(y﹣6)2=25,圆C2:(x﹣17)2+(y﹣30)2=r2.若圆C2上存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B,满足PA=2AB,则半径r的取值范围是 ▲ .
三、解答题:(本大题共5个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16.已知函数f(x)=2sin(x+)•cos(x+)﹣sin(2x+3π).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若将f(x)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.
17.设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列.记cn=an+bn.
(1)求证:数列{cn+1﹣cn﹣d}为等比数列;
(2)已知数列{cn}的前4项分别为4,10,19,34.求数列{an}和{bn}的通项公式.
18.如图,在边长为2的正方形中,为线段的中点,将沿直线翻折成,使得平面平面,为线段的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面;
A
B
C
D
E
A′
A
E
B
C
D
F
(第18题)
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正切值.
19.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(8,﹣4),P(2,t)(t<0)在抛物线y2=2px(p>0)上.
(1)求p,t的值;
(2)过点P作PM垂直于x轴,M为垂足,直线AM与抛物线的另一交点为B,点C在直线AM上.若PA,PB,PC的斜率分别为k1,k2,k3,且k1+k2=2k3,求点C的坐标.
20.设a∈R,函数f(x)=x|x﹣a|﹣a.
(1)若f(x)为奇函数,求a的值;
(2)若对任意的x∈[2,3],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;
(3)当a>4时,求函数y=f(f(x)+a)零点的个数.
嘉兴市第一中学高三班级阶段性练习卷
高三数学(文科) 参考答案及评分标准
一、选择题(每小题5分,共40分.)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
C
B
D
D
A
二、(本大题共7小题, 前4题每空3分,后3题每空4分, 共36分.)
9. ; , 10. ; ,
11. 1; , 12. ;
13. , 14. ,
15. [5,55] .
三、解答题
16.解:(1)
==
==2sin(2x+).
∴f(x)的最小正周期为;
(2)由已知得
=,
∵x∈,
∴,
故当,即时,;
当,即x=0时,.
17. 解: (1)证明:依题意,cn+1﹣cn﹣d=(an+1+bn+1)﹣(an+bn)﹣d=(an+1﹣an)﹣d+(bn+1﹣bn)=bn(q﹣1)≠0,…3分
从而,又c2﹣c1﹣d=b1(q﹣1)≠0,
所以{cn+1﹣cn﹣d}是首项为b1(q﹣1),公比为q的等比数列. …5分
(2)解:①由(1)得,等比数列{cn+1﹣cn﹣d}的前3项为6﹣d,9﹣d,15﹣d,
则(9﹣d)2=(6﹣d)(15﹣d),
解得d=3,从而q=2,…7分
且
解得a1=1,b1=3,
所以an=3n﹣2,.
18.(15分)(Ⅰ)取的中点,连接 ,.
中点,∥且 ……2分
∥ 且
四边形为平行四边形. ……………4分
∥,又,
A
B
C
D
E
A′
A
E
B
C
D
F
(第18题)
M
P
N
∥ ……………6分
(Ⅱ)在平面内作,交的延长线于点,
∵平面平面,平面平面
平面,连接,
则为与平面所成的角, ……………8分
∵∽ ,
, ……………10分
在中作 垂足为
,
,
在直角中, 又 …14分
在直角中,
直线与平面所成角的正切值为。 ……………15分
19.解: 解:(1)将点A(8,﹣4)代入y2=2px,
得p=1,
将点P(2,t)代入y2=2x,得t=±2,
由于t<0,所以t=﹣2.
(2)依题意,M的坐标为(2,0),
直线AM的方程为y=﹣x+,
联立抛物线方程y2=2x,并解得B(,1),
所以k1=﹣,k2=﹣2,
代入k1+k2=2k3得,k3=﹣,
从而直线PC的方程为y=﹣x+,
联立直线AM:y=﹣x+,
并解得C(﹣2,).
20.解: 解:(1)∵f(x)在原点有定义,f(x)为奇函数;
∴f(0)=﹣a=0;
∴a=0;
(2)f(x)=x|x﹣a|﹣a;
∴①若a<2,则x=2时,f(x)在[2,3]上取得最小值f(2)=2(2﹣a)﹣a=4﹣3a;
∴4﹣3a≥0,a≤;
∴;
②若2≤a≤3,则x=a时,f(x)取得最小值f(a)=﹣a;
﹣a<0,不满足f(x)≥0;
即这种状况不存在;
③若a>3,则x=3时,f(x)取得最小值f(3)=3(a﹣3)﹣a=2a﹣9;
∴2a﹣9≥0,a;
∴;
∴综上得a的取值范围为(﹣∞,]∪[,+∞);
(3)f(x)+a=x|x﹣a|,令x|x﹣a|=t;
∴y=t|t﹣a|﹣a;
下面作出函数t=x|x﹣a|=和函数y=t|t﹣a|﹣a=的图象:
函数y=t|t﹣a|﹣a的图象可以认为由函数y=t|t﹣a|的图象向下平移a个单位得到;
明显函数y=t|t﹣a|﹣a的左边两个零点t=t1,t=t2都在(0,a)区间上,而通过t=x|x﹣a|的图象可看出:
∵,∴;
∴t1,t2分别有三个x和它对应;
∴这时原函数有6个零点;
由t(t﹣a)﹣a=t2﹣ta﹣a=0可以解出;
∴;
明显;
而(a2﹣2a)2﹣4(a2+4a)=a[a2(a﹣4)﹣16];
明显a2(a﹣4)﹣16可能大于0,可能等于0,可能小于0;
∴t3可能和它对应的x个数为3,2,1;
∴此时原函数零点个数为3,2,或1;
∴原函数的零点个数为9个,8个,或7个.
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