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第1讲 几何证明选讲
1. (2022·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.
求证：∠E＝∠C.
证明 连接OD，由于BD＝DC，O为AB的中点，
所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.
由于OB＝OD，所以∠ODB＝∠B于是∠B＝∠C.
由于点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，
故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
2. (2011·江苏卷)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)，圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．
求证：AB∶AC为定值．
证明 如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.由于圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝.所以BD∥CE，于是＝＝＝.所以AB∶AC为定值．
3. (2010·江苏卷)AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
证明 连接OD，则：OD⊥DC，
又OA＝OD，DA＝DC，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC.
4. 如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.
证明 连接OT，由于AT是切线，所以OT⊥AP.
又由于∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，
所以AB∥OT，
所以∠TBA＝∠BTO.
又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，
所以∠OBT＝∠TBA，
即BT平分∠OBA.
5．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.
(1)证明：OM·OP＝OA2；
(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.
证明 (1)由于MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又由于AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.
(2)由于BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，
即＝.又∠NOP＝∠MOK，
所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.
6．(2022·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明 (1)由于PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，
又由于∠PGD＝∠EGA，
故∠DBA＝∠EGA.
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.
故AB是直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.
又由于∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，
故DC∥AB.
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．
于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.
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