2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：1-7-4不等式选讲(选做部分).docx

第4讲　不等式选讲

1．(2022·江苏卷)已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.
证明　由于3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知，|x＋y|＜，|2x－y|＜，
从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.
2．(2022·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a＞0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．
(1)证明　由a＞0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.
(2)解　f(3)＝|3＋|＋|3－a|.
当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5得3＜a＜.
当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5得＜a≤3.
综上，a的取值范围是.
3．(2011·江苏卷)解不等式：x＋|2x－1|＜3.
解　原不等式可化为或
解得≤x＜或－2＜x＜.
所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．
4．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
证明　法一　由于a、b、c均为正数，由平均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)－，②
所以2≥9(abc)－.
故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
法二　由于a，b，c均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋，②
故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立，
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
5．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.
证明　由于a，b，c为正实数，由均值不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥.
所以＋＋＋abc≥＋abc.
而＋abc≥2＝2，
所以＋＋＋abc≥2.
6．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)>2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
解　(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝
当x<－时，
由f(x)＝－x－5>2得x<－7，
∴x<－7；
当－≤x<4时，
由f(x)＝3x－3>2得x>，
∴<x<4；
当x≥4时，由f(x)＝x＋5>2，得x>－3，
∴x≥4.
故原不等式的解集为
.
(2)画出f(x)的图象如图：
∴f(x)min＝－.