2022届高考数学理科一轮复习课时作业-2-3函数的奇偶性与周期性-.docx

第三节　函数的奇偶性与周期性

题号
1
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5
6
答案

1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是(　　)
A．y＝2|x| B．y＝lg(|x|＋)
C．y＝2x＋2－x D．y＝ln
解析：由于y＝ln的定义域为{x|x＞1}，不关于原点对称，所以y＝ln是非奇非偶函数．故选D.
答案：D
2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

解析：由f(－x)＝f(x)得y＝f(x)是偶函数，所以函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，可知B，D符合；由f(x＋2)＝f(x)得y＝f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图象的最小正周期是4，不符合，选项B的图象的最小正周期是2.故选B.
答案：B
3．已知函数y＝f(x)＋x3为偶函数，且f(10)＝10，若函数g(x)＝f(x)＋4，则g(－10)＝(　　)
A．2 012 B．2 013 C．2 014 D．2 015
解析：由于y＝f(x)＋x3是偶函数，所以f(－x)＋(－x)3＝f(x)＋x3，即f(－x)＝f(x)＋2x3，所以g(－10)＝f(－10)＋4＝f(10)＋2·103＋4＝2 014.故选C.
答案：C
4．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
解析：由题意得函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)单调递减．由于f(1－a)＝f(1＋a)且1－a≠1＋a，所以1－a，1＋a应分别在分段函数的两段上，则当a＜0时，由于1－a＞1＋a，所以f(1－a)＝f(1＋a)⇒2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a⇒a＝－；当a＞0时，1－a＜1＜1＋a，所以f(1－a)＝f(1＋a)⇒2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a⇒a＝－(不符合题意，舍去)，综上所述，a＝－，故选C.
答案：C
5. 函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点确定在函数f(x)图象上的是(　　)
A．(－a，－f(a))　 B．(a，f(－a))
C．(a，－f(a)) D．(－a，－f(－a))
解析：函数的定义域为R，且满足f(x)＝f(－x)，
∴f(x)为偶函数．
∴f(a)＝f(－a)．而点(a，f(a))在函数图象上，
∴(a，f(－a))也在函数图象上．故选B.
答案：B
6．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，0) B．[0，1] C．[－1，1] D．[－2，2]
解析：依题意得f(1)＝3，当a＝0时，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)成立；当a≠0时，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)等价于或由此解得0＜a≤1或－1≤a＜0.综上所述，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)的解集是[－1，1]，故选C.
答案：C
7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．
解析：由已知等式得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(6)＝f(2)，由f(x＋2)＝－f(x)得f(2)＝－f(0)，由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(6)＝0.
答案：0
8．已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为________．
解析：函数的周期为2，
∴f(－2 013)＋f(2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(0)＝log2(1＋1)＋log2(0＋1)＝1.
答案：1
9．已知函数f(x)＝
则f(－3)的值为________．
解析：f(－3)＝f(－1)＝f(1)＝f(3)＝＝.
答案：
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a的取值范围．
解析：(1)易知f(1)＝1，f(－1)＝1－m，
又∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
∴1－m＝－1.
∴m＝2.
故实数m的值为2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
∴1＜a≤3.故实数a的取值范围是(1，3]．
11．(2021·四川泸州模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积．
解析：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数，从而得
f(π)＝f[－1×4＋π]＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
所以f(π)的值为π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4. 故所求图形的面积为4.