资源描述
圆与方程
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1． 直线l：y＝k与圆C：x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相交或相切 B．相交或相离
C．相切 D．相交
解析：选D 圆C的圆心(0,0)到直线y＝k的距离为d＝.由于d2＝＜＜1，所以直线与圆相交，或由直线经过定点在圆内，故相交．
2．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )．
A．m>－ B．m<－
C．m≤－ D．m≥－
解析：选A 由题意得1＋1＋4m>0.解得m>－.
3． 空间直角坐标系中，已知A(2,3,5)，B(3,1,4)，则A，B两点间的距离为( )
A．6 B.
C. D.
解析：选B |AB|＝＝.
4．以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：C
5．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：选B 化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1，
圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，
|O1O2|＝ ＝＜r1＋r2，又r2－r1＜，所以两圆相交．
6．自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长为( )
A. B．3
C. D．5
解析：选B 点A到圆心距离为，切线长为l＝＝3.
7．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( )
A.或－ B．－或3
C．－3或 D．－3或3
解析：选C 圆的方程变形为(x－1)2＋y2＝3，圆心(1,0)到直线的距离等于半径⇒＝⇒|＋m|＝2⇒m＝或m＝－3，故选C.
8．圆心在x轴上，半径长为 ，且过点(－2,1)的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝2
B．x2＋(y＋2)2＝2
C．(x＋3)2＋y2＝2
D．(x＋1)2＋y2＝2或(x＋3)2＋y2＝2
解析：选D 设圆心坐标为(a,0)，则由题意知＝，解得a＝－1或a＝－3，
故圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2或(x＋3)2＋y2＝2.
9．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
解析：选C 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.依题意有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.
10．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2.则实数a的值为( )
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
解析：选D 圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝，则()2＋()2＝22，
解得a＝0或4.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．
解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴B1(a，b，c)．
答案：(a，b，c)
12．(2022·北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．
解析：如图所示，|CO|＝2，圆心C(0,2)到直线y＝x的距离|CM|＝＝，所以弦长为2|OM|＝2＝2.
答案：2
13．设A为圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上一动点，则A到直线x－y－5＝0的最大距离为________．
解析：圆心到直线的距离d＝＝，则A到直线x－y－5＝0的最大距离为＋1.
答案：＋1
14．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率确定存在，故kPM·kPN＝－1，
即·＝－1，x2＋y2＝4.
又当P、M、N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，
即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案：x2＋y2＝4(x≠±2)
三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)求圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，在x轴上截得的弦长为4的圆的方程．
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意可得解得或所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
16．(本小题满分12分)已知正方体的棱长为a，过B1作B1E⊥BD1于点E，求A、E两点之间的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
依据题意，可得A(a,0,0)、B(a，a,0)、D1(0,0，a)、B1(a，a，a)．
过点E作EF⊥BD于F，如图所示，
则在Rt△BB1D1中，
|BB1|＝a，|BD1|＝a，|B1D1|＝a，
所以|B1E|＝＝，
所以在Rt△BEB1中，|BE|＝a.
由Rt△BEF∽Rt△BD1D，
得|BF|＝a，|EF|＝，
所以点F的坐标为(，，0)，
则点E的坐标为(，，)．
由两点间的距离公式，得
|AE|＝ ＝a，
所以A、E两点之间的距离是a.
17．(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得2x0＝2，即当水面下降1米后，水面宽2米．
18．(本小题满分14分)(2022·淮安高二检测)已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；
(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程．
解：(1)设P(2m，m)，由题可知MP＝2，所以(2m)2＋(m－2)2＝4，解得m＝0或m＝，故所求点P的坐标为P(0,0)或P.
(2)由题意易知k存在，设直线CD的方程为y－1＝k(x－2)，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以＝，解得k＝－1或k＝－，故所求直线CD的方程为：x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
