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其次章 2.2 2.2.1
一、选择题
1．函数y＝x2－5x＋1的对称轴和顶点坐标分别是( )
A．x＝5， B．x＝－5，
C．x＝5， D．x＝－5，
[答案] A
[解析] 对称轴方程为x＝－＝－＝5，
又＝＝＝－，
∴顶点坐标为.
2．二次函数y＝4x2－mx＋5的对称轴为x＝－2，则当x＝1时，y的值为( )
A．－7 B．1
C．17 D．25
[答案] D
[解析] ∵函数y＝4x2－mx＋5的对称轴为x＝－2，
∴＝－2，即m＝－16，函数y＝4x2＋16x＋5，当x＝1时，y＝25，故选D．
3．(2022～2021学年度河南洛阳市高一上学期期中测试)函数f(x)＝－x2＋4x＋5(0≤x<5)的值域为( )
A．(0,5] B．[0,5]
C．[5,9] D．(0,9]
[答案] D
[解析] f(x)＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，
∵0≤x<5，∴当x＝2时，f(x)取最大值9，
当x＝5时，f(x)＝0.
∵x<5，∴函数f(x)的值域为(0,9]，故选D．
4．二次函数y＝x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab的图象顶点在x轴上，其中a、b、c为△ABC的三边长，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[答案] B
[解析] ∵顶点在x轴上，
∴＝＝0，
∴a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形．
5．若函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(1,3)
C．[1,3] D．[0,4]
[答案] C
[解析] ∵函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，∴对称轴x＝a，应在点1的右侧，点3的左侧或与点1、点3重合，∴1≤a≤3.
6．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m＋1)的值为( )
A．正数 B．负数
C．零 D．符号与a有关
[答案] A
[解析] ∵a>0，∴f(0)＝a>0，
又∵函数的对称轴为x＝－，∴f(－1)＝f(0)>0，
又∵f(m)<0，∴－1<m<0，∴m＋1>0，
∴f(m＋1)>0.
二、填空题
7．函数y＝3x2＋2x＋1(x≥0)的最小值为____________．
[答案] 1
[解析] ∵函数y＝3x2＋2x＋1的对称轴为x＝－，∴函数在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，函数取最小值1.
8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的有关叙述：
(1)值域为R；
(2)在(－∞，－]上单调递减，在[－，＋∞)上单调递增；
(3)当b＝0时，函数是偶函数．
其中正确说法的序号为________．
[答案] (3)
[解析] 二次函数的值域不行能为R，故(1)错；当a<0时，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在(－∞，－]上单调递增，在[－，＋∞)上单调递减，故(2)错；当b＝0时，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)正确．
三、解答题
9．已知二次函数y＝2x2－4x－6.求：
(1)此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出图象；
(2)x为何值时，分别有y>0，y＝0，y<0.
[解析] (1)配方，得y＝2(x－1)2－8.
∵a＝2>0，∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．列表如下：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
10
0
－6
－8
－6
0
…
描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示．
(2)当函数图象在x轴上方时，即x<－1或x>3时，y>0；同理：x＝－1或x＝3时，y＝0；－1<x<3时，y<0.
10．(2022～2021学年度青海师范高校附属其次中学高一上学期月考)已知函数f(x)＝x2＋2x.
(1)若f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[2,5]时，求f(x)的最值．
[解析] (1)由题意得a≥－1.
(2)∵函数f(x)在区间[2,5]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝22＋2×2＝8，
f(x)max＝f(5)＝52＋2×5＝35.
一、选择题
1．(2022～2021学年度德阳五中高一上学期月考)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝2，则( )
A．f(0)<f(1)<f(3) B．f(3)<f(1)<f(0)
C．f(3)<f(1)＝f(0) D．f(0)<f(1)＝f(3)
[答案] D
[解析] ∵函数f(x)＝－x2＋bx＋c的图象是开口向下，对称轴为x＝2的抛物线，∴f(1)＝f(3)，且f(0)<f(1)．故选D．
2．已知函数y＝ax2＋bx＋c，假如a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )
[答案] D
[解析] ∵a>b>c，a＋b＋c＝0，∴a>0，
又∵b＝－(a＋c)，∴Δ＝b2－4ac＝(a－c)2>0，
∴抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，故选D．
3．已知二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2等于( )
A．0 B．3
C．6 D．不确定
[答案] C
[解析] 由f(3＋x)＝f(3－x)，得对称轴为直线x＝3，∴x1＋x2＝6.
4．(2022～2021学年度河北刑台二中高一上学期月考)函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
[答案] D
[解析] 当x＝0时，y＝3.
当x＝1时，ymin＝2.
当x＝3时，y＝3，故1≤m≤2.
二、填空题
5．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在区间[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)的取值范围是______．
[答案] (－∞，8]
[解析] ∵函数f(x)＝x2－2ax＋5在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴函数f(x)的对称轴x＝a≤1，
∴f(－1)＝1＋2a＋5＝6＋2a≤8.
6．若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是________．
[答案] [，3]
[解析] 函数f(x)的对称轴方程为x＝，
且f()＝－，∴m≥.
又∵f(0)＝f(3)＝－4，∴m≤3.∴≤m≤3.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝(x－1)2＋n的定义域和值域都是区间[1，m]，求m、n的值．
[解析] ∵f(x)＝(x－1)2＋n，且x∈[1，m]，
∴f(x)的最大值为f(m)＝(m－1)2＋n，
f(x)的最小值为f(1)＝n.
又∵函数f(x)的值域为[1，m]，
∴，解得.
8．已知函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[t，t＋2]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
[解析] ∵f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，
∴函数f(x)的对称轴方程为x＝2.
当t≥2时，函数f(x)在区间[t，t＋2]上为增函数，
∴当x＝t时，f(x)取最小值t2－4t＋2；
当t＋2≤2，即t≤0，函数f(x)在区间[t，t＋2]上为减函数，
∴当x＝t＋2时，f(x)取最小值(t＋2)2－4(t＋2)＋2＝t2－2；
∴当0<t<2时，函数f(x)在对称轴处取得最小值－2，
∴g(t)＝.
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