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第3讲 二元一次不等式（组）与简洁的线性
规划问题
一、选择题
1．不等式x－2y＞0表示的平面区域是( )．
解析 将点(1,0)代入x－2y得1－2×0＝1＞0.
答案 D
2．设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是( )．
A．14 B．16 C．17 D．19
解析 线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x＋4y＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x＋4y＝3×3＋4×2＝17，因此3x＋4y的最小值为16.
答案 B
3．若不等式组
表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 ( )．
A．(－∞，5) B．[7，＋∞)
C．[5,7) D．(－∞，5)∪[7，＋∞)
解析 画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7.
答案 C
4．设实数x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，
b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为( )．
A. B. C. D．4
解析 由可行域可得，当x＝4，y＝6时，目标函数z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即＋＝1.∴＋＝·＝＋＋≥＋2＝.
答案 A
5．实数x，y满足若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为 ( )．
A．4 B．3 C．2 D.
解析 作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.
答案 C
6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理支配生产方案，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 ( )．
A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元
解析 设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z＝300x＋400y.
作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点．作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2 800.
答案 C
二、填空题
7．若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．
解析 画出可行域，如图所示，将直线y＝3x－z移至点A(0,1)处直线在y轴上截距最大，zmin＝3×0－1＝－1.
答案 －1
8．若x，y满足约束条件则x－y的取值范围是________．
解析 记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B(1,1)时，x－y取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，x－y取得最小值－3.
答案 [－3,0]
9．设实数x、y满足则的最大值是________．
解析 不等式组确定的平面区域如图阴影部分．
设＝t，则y＝tx，求的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．明显y＝tx过A点时，t最大．
由解得A.
代入y＝tx，得t＝.所以的最大值为.
答案
10．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________．
解析 目标函数z＝x＋my可变为y＝－x＋，
∵m>1，∴－1<－<0，z与同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P时，取最大值，∴＋<2，又m>1，得1<m<1＋.
答案 (1,1＋)
三、解答题
11．设集合A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三边长}．
(1)求出x，y所满足的不等式；
(2)画出点(x，y)所在的平面区域．
解 (1)已知条件即
化简即
(2)区域如下图．
12．画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x、y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
解 (1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．
所以，不等式组
表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
13．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值．
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解 (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4<a<2.
故所求a的取值范围是(－4,2)．
14．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？
项目
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
解 (1)依题意得
解得
故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.
(2)依题意得x、y应满足的约束条件为
且z＝0.65x＋0.4y.
作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l0：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，此时z取得最大值．解方程组
得x＝2，y＝3.故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x＝2，y＝3时，z取最大值为2.5.
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