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第2讲 空间点、线、面的位置关系
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c
( )
A．肯定平行
B．肯定相交
C．肯定是异面直线
D．平行、相交、异面直线都有可能
解析 当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．
答案 D
2．(2022·杭州七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是
( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.
答案 D
3．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是
( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
解析 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
答案 A
4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面或平行，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点动身的三条棱，故D不正确．
答案 B
5．(2022·丽水调研)两条异面直线在同一个平面上的正投影不行能是
( )
A．两条相交直线 B．两条平行直线
C．两个点 D．一条直线和直线外一点
解析 如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C.
答案 C
二、填空题
6．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
答案 1或4
7．(2021·江西卷)如图，正方体的底面与正四周体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
解析 取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内．所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
答案 4
8．(2021·浙大附中检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
解析 如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN.
所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角．
连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，
则A1K＝＝，
MK＝DN＝＝，
A1M＝＝6，
∴A1M2＋MK2＝A1K2，
∴∠A1MK＝90°.
答案 90°
三、解答题
9.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉AD.又BC綉AD，∴GH綉BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 由BE綉AF，G为FA中点知，BE綉FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
10．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．
解 (1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，
所以，四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，
连接ME，DE，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，
由已知，可得DE＝，EM＝，MD＝，∵()2＋()2＝()2，
∴△DEM为直角三角形，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11.(2021·台州温岭中学模拟)一个正方体的开放图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中
( )
A．AB∥CD
B．AB与CD相交
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为60°
解析 如图，把开放图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确．图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，∴正确选项为D.
答案 D
12．设四周体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是
( )
A．(0，) B．(0，)
C．(1，) D．(1，)
解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四周体，长为a的棱长肯定大于0且小于.选A.
答案 A
13.(2021·安徽卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出全部正确命题的编号)．
①当0＜CQ＜时，S为四边形；②当CQ＝时，S为等腰梯形；③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝；④当＜CQ＜1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为.
解析 如图1，当CQ＝时，平面APQ与平面ADD1A1的交线AD1必平行于PQ，且D1Q＝AP＝，
∴S为等腰梯形，∴②正确；
图1
同理，当0＜CQ＜时，S为四边形，
∴①正确；
图2
如图2，当CQ＝时，将正方体ABCD－A1B1C1D1补成底面不变，高为1.5的长方体ABCD－A2B2C2D2.Q为CC2的中点，连接AD2交A1D1于点E，易知PQ∥AD2，作ER∥AP，交C1D1于R，连接RQ，则五边形APQRE为截面S.延长RQ，交DC的延长线于F，同时与AP的延长线也交于F，由P为BC的中点，PC∥AD，知CF＝DF＝1，由题意知△RC1Q∽△FCQ，∴＝，
∴C1R＝，∴③正确；由图2知当＜CQ＜1时，S为五边形，∴④错误；当CQ＝1时，点Q与点C1重合，截面S为边长为的菱形，对角线AQ＝，另一条对角线为，∴S＝，⑤正确．
答案 ①②③⑤
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．
证明 如图所示，∵A1A∥C1C，
∴A1A，C1C确定平面A1C.
∵A1C⊂平面A1C，O∈A1C，
∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，∴O∈平面BDC1，
∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．
∵AC∩BD＝M，
∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1C，
∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，
∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．
15.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解 取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD.
∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．
在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，
∴BE＝.在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，
∴EF＝.
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝.
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
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