《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第一章-第3讲-命题及其关系、充要条件.docx

第3讲　命题及其关系、充要条件

1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若綈p，则綈q；逆否命题是若綈q，则綈p．
(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)假如既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．
[做一做]
1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则有|a|＝|b|”的逆命题是(　　)
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
答案：D
2．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝
答案：C
3．(2022·高考浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当四边形ABCD为菱形时，必有对角线相互垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不愿定是菱形，还需要AC与BD相互平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

1．辨明两个易误点
(1)易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
(2)留意区分A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同．
2．充要条件常用的三种推断方法
(1)定义法：直接推断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系推断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
[做一做]
4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：“________”．
解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，
结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．

答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角
5．“1<x<2”是“x<2”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A

,[同学用书P8～P9])

__四种命题及其相互关系________________

　(1)(2022·高考陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的推断依次如下，正确的是(　　)
A．真，假，真　　　　　　 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
(2)(2021·南通一调)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的________．(从“逆命题，否命题，逆否命题，否定”中选一个填空)
解析：(1)原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不愿定互为共轭复数，同时由于逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.
(2)命题p的逆命题：“若a的平方不等于0，则a是正数”；
命题p的否命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”；
命题p的逆否命题：“若a的平方等于0，则a不是正数”；
命题p的否定：“至少有一个正数的平方等于0”．
所以p是q的否命题．
[答案]　(1)B　(2)否命题
[规律方法]　推断四种命题间关系、真假的方法
(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；
(2)当一个命题直接推断真假不简洁进行时，可转而推断其逆否命题的真假．
　1.以下关于命题的说法正确的是______(填写全部正确命题的序号)．
①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题．
解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确．综上可知正确的说法有②.
答案：②
__充分条件、必要条件的推断(高频考点)____

充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点．常以选择题、填空题的形式毁灭，作为一个重要载体，考查的数学学问面很广，几乎涉及数学学问的各个方面．
高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：
(1)推断指定条件与结论之间的关系；
(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；
(3)与命题的真假性相交汇命题．
　(1)(2022·高考广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的 (　　)
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
(2)(2021·郑州市其次次质量猜想)函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是(　　)
A．ab＝0 B．a＋b＝0
C．a2＋b2＝0 D．a＝b
(3)给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0相互垂直”的充要条件；
④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________.

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充要条件

[解析]　(1)由正弦定理，知a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔sin A≤sin B．故选A.
(2)f(x)为奇函数且x∈R，故f(0)＝0⇒b＝0.
又f(－x)＝－f(x)，即－x|－x＋a|＝－x|x＋a|，得|x＋a|＝|－x＋a|，|x＋a|＝|x－a|恒成立，需a＝0.综上可知，a＝b＝0，即a2＋b2＝0，故选C.
(3)对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8…明显不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96…是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的两条直线相互垂直，反之，这两条直线垂直时，不愿定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；对于④，由题意得＝＝，若B＝60°，则sin A＝，留意到b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sin B＝，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.
[答案]　(1)A　(2)C　(3)①④
[规律方法]　充要条件问题的解题策略：
(1)推断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．
(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论动身，求出访结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．
(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，推断是否成马上可．
　2.(1)已知p：“a，b，c成等比数列”，q：“b＝”，那么p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2021·北京东城区质检)若集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2，3)”是“B⊆A”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)(2021·忻州市第一次联考)命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．a≥4 B．a>4
C．a≥1 D．a>1
解析：(1)选D.若a，b，c成等比数列，则有b2＝ac，所以b＝±，所以充分性不成立．当a＝b＝c＝0时，b＝成立，但此时a，b，c不成等比数列，所以必要性不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件．

(2)选A.由题意知A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1＋a<x<1＋a}，若B⊆A，则解得2≤a≤3，所以必要性不成立．
反之，若2<a<3，则必有B⊆A成立，所以充分性成立，故选A.
(3)选B.要使得“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a>4是命题为真的充分不必要条件．
__充分条件、必要条件的应用__________

　已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．
[解]　(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，
因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是{a|－3≤a≤5}．
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故“a＝0”是“M∩P＝{x|5<x≤8}”的一个充分但不必要条件．
　本例的条件不变，若x∈M是x∈P的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：∵x∈M是x∈P的必要不充分条件，则PM，
∴a>5.∴实数a的取值范围为(5，＋∞)．
[规律方法]　利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，精确     地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，确定要留意区间端点值的检验．其思维方式是：
(1)若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q p；
(2)若p是q的必要不充分条件，则p q，且q⇒p；
(3)若p是q的充要条件，则p⇔q.
　3.已知p：≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)＞0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：綈q：(x－a)(x－a－1)≤0⇒a≤x≤a＋1.
由p是綈q的充分不必要条件知：
a≤且a＋1≥1⇒0≤a≤.
答案：[0，]

,[同学用书P9])

方法思想——等价转化思想在充要条件中的应用

　　　已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
[解]　∵綈p是綈q的必要而不充分条件，
∴p是q的充分而不必要条件，
由q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，
得1－m≤x≤1＋m，
设q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
p：P＝{x|－2≤x≤10}，
∵p是q的充分而不必要条件，∴PQ，
∴或
即m≥9或m>9.∴m≥9.
[名师点评]　本题将“綈p是綈q的必要而不充分条件”转化为“p是q的充分而不必要条件”；将p、q之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、简洁问题简洁化，体现了等价转化思想的应用．

　　　1.(2021·高考山东卷)给定两个命题p、q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由q⇒綈p且綈pq可得p⇒綈q且綈p，所以p是綈q的充分不必要条件．
2．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞)　　　　　　　　　 B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
解析：选A.由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.

1．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)
A．“若x<y，则x2<y2”　　　 B．“若x>y，则x2>y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”
解析：选C.依据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
2．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选C.由题意得A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，故A∪B＝C，则“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．
3．下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题
解析：选B.对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B应为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题为“若x<1，则x2<1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项D为假命题．综上可知，选B.
4．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(　　)
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：选D.原命题明显为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．
5．在斜三角形ABC中，命题甲：A＝，命题乙：cos B≠，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由于△ABC为斜三角形，所以若A＝，则B≠且B≠，所以cos B≠且cos B≠0；反之，若cos B≠，则B≠，不妨取B＝，A＝，C＝，满足△ABC为斜三角形，所以选A.
6．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是________．
解析：原命题与其逆否命题为等价命题．
答案：若b∈M，则a∉M
7．有下列几个命题：
①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．
②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．
答案：②③
8．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，
∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．
又∵α是β的必要不充分条件．
∴BA，∴a≤0.
答案：(－∞，0]
9．(2021·河南开封调研)已知命题p：“若ac≥0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)推断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
解：(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：
∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
10．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；
(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；
(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，p：l∥α，q：l∥m.
解：(1)若a＋b＝2，则圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．
反之，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，
∴a＋b＝±2，
故p是q的充分不必要条件．
(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立．
反之，若x2＋x≥0，
即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1.
当x≤－1时，|x|＝－x≠x，
因此，p是q的充分不必要条件．
(3)∵l∥α l∥m，但l∥m⇒l∥α，
∴p是q的必要不充分条件.

1．已知向量a＝(sin α，cos α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b的夹角为θ，则“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由条件可知|a|＝|b|＝1，若|a－b|＝1，则(a－b)2＝1，即a2＋b2－2a·b＝1，所以1＋1－2cos θ＝1，即cos θ＝，故θ＝60°.同理，若θ＝60°，则|a－b|＝1也成立．故“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的充分必要条件．
2．(2021·浙江省名校联考)一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　　)
A．m>1，且n<1 B．mn<0
C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0
解析：选B.∵y＝－x＋的图象经过第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为nm<0.
3．下列几个命题：
①“若x2＋x－6≥0，则x≥2”的否命题；
②在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的充分不必要条件；
③“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”．
其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．
解析：①“若x2＋x－6≥0，则x≥2”的否命题是“若x2＋x－6<0，则x<2”，①是真命题；在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的必要不充分条件，②是假命题；“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝(k∈Z)”，③是假命题．
答案：①
4．已知集合A＝{x|＜2x＜8，x∈R}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
解析：A＝{x|＜2x＜8，x∈R}＝{x|－1＜x＜3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.
答案：(2，＋∞)
5．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围．
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．
解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．
(1)由于x∈P是x∈S的充要条件，所以P＝S，
所以所以这样的m不存在．
(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，
所以所以m≤3.
综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．
6．(选做题)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
解：∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，
∴m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
∴
解得m∈.
∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
∴
∴m为4的约数．
又∵m∈，
∴m＝－1或1.
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；
而当m＝1时，两方程的根均为整数，
∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.