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高三其次次质量检测
理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
留意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效．
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合和，则
A．或 B．
C． D．
2．已知是虚数单位，若，则的虚部为
A． B． C． D．
3．设是两个实数，命题“中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是
A． B．
C． D．
4．已知数列，若利用如图所示
的程序框图计算该数列的第10项，则推断框内的条件是
A． B． C． D．
5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
6．定义：，若函数， 将其图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是
A． B． C． D．
7．已知函数，则的大致图象是
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是
A． B．
C． D．7
9．若实数满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为，则函数在点处取得最大值的概率为
A． B． C． D．
10．已知M是△ABC内的一点（不含边界），且若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为，记，则的最小值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是 __________
12．在各项为正数的等比数列中，若，则公比
13．接受系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组接受简洁随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，60]的人做问卷C,则抽到的人中，做问卷C的人数为 ．
14．已知对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．
15．已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有个零点，则实数 的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，且
．
（Ⅰ）求cosA的值;
（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．
17．（本小题满分12分）
某高校开设甲、乙、丙三门选修课，同学是否选修哪门课互不影响． 已知同学小张只选甲的概率为0．08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（Ⅰ）求同学小张选修甲的概率；
（Ⅱ）记“函数f(x)=x2+x 为R上的偶函数”为大事A，求大事A的概率；
（Ⅲ）求的分布列和数学期望；
18．（本小题满分12分）
在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=BC=CD=a，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连结DB,DC，得到如图2所示的几何体D-ABCE，在图2中解答以下问题：
（Ⅰ）设F为AB中点，求证：DF⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正弦值．
19．（本小题满分12分）
设是数列（）的前项和，已知，，设．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和
20．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
（Ⅲ）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，且过点．抛物线的焦点坐标为．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；
（Ⅱ）若点M是直线l:上的动点，过点M作抛
物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭
圆C1于P，Q两点．
i）求证直线过定点，并求出该定点坐标；
ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．
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理科数学参考答案
一、选择题：1-5 CABBC 6-10 BAADC
二、填空题：11． 12．2 13．8 14． 15．
三、解答题：
.............................. 10分
.............................. 8分
.............................. 8分
.............................. 12分
.............................. 6分
17．解：（Ⅰ）设同学小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z；依题意得
解得
所以同学小张选修甲的概率为0．4 …………………………………．4分
(Ⅱ）若函数为上的偶函数，则=0
∴大事A的概率为0.24 ………………………………………… 8分
(Ⅲ）依题意知， 则的分布列为
∴的数学期望为 ……………………12分
18．证明： （Ⅰ）取AE中点H，连结HF，连结EB，
由于△DAE为等边三角形，所以DH⊥AE ，由于平面DAE⊥平面ABCE，
所以DH⊥平面ABCE，平面，
所以AC⊥DH，由于ABCE为平行四边形，CE=BC=a，
所以,ABCE为菱形，AC⊥BE， 由于H、F分别为AE、AB中点，所以GH∥BE，
所以AC⊥HF；由于HF平面DHF，DH平面DHF，且，
所以AC⊥平面DHF，又DF平面DHF，所以DF⊥AC。………………… 5分
（Ⅱ）连结由题意得三角形ABE为等边三角形，所以，，由（Ⅰ）知 底面，以为原点，分别以所在直线为轴
建立空间直角坐标系，如图所示： ………………………………… 6分
则，
所以，，，设面的法向量为，
则，不妨设， ………………………… 8分
设面DAB的法向量，又 ，则，
取， …………………………………………………………… 10分
所以，所以二面角的正弦值为。…… 12分
19．解： （Ⅰ）由于,所以，
即，则，
所以，又，所以是首项为，公比为的等比数列。
故数列的通项公式为。…………………………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，………………… 6分
设………………①
则……………②……………………8分
①-②得： ，……10分
所以，所以。…………12分
20．解：（Ⅰ）当时，，，切点， ……1分
，， ……3分
曲线在点处的切线方程为：，即． ……4分
（Ⅱ），定义域为，
……5分
①当，即时，令，
令， ……6分
②当，即时，恒成立， ……7分
综上：当时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，在上单调递增． ……8分
（Ⅲ）由题意可知，在上存在一点，使得成立，
即在上存在一点，使得，
即函数在上的最小值．… …9分
由第（Ⅱ）问，①当，即时，在上单调递减，
，，
，； ……10分
②当，即时，在上单调递增，
， ……11分
③当，即时，
，，
此时不存在使成立． ……12分
综上可得所求的范围是：或．………………13分
21．解：（I）由于椭圆中，，则设其方程为，由于点在椭圆上，故代入得．故椭圆的方程为．对抛物线中， ，故，从而椭圆的方程为，抛物线的方程为．------4分
（II）i)设点，且满足，点，则切线的斜率为，从而MA的方程为，考虑到，则切线的方程为，同理切线的方程为，----5分
由于切线MA，MB同过点M，从而有，由此点在直线上．又点M在直线上，则，-6分
故直线的方程为，即，明显直线过定点．-------8分
ii）设，考虑到直线AB的方程为，则联立方程
，消去并简化得，-----9分
，，-------10分
从而，--11分
点O到PQ的距离，
从而
，-----12分
当且仅当，即
又由于，从而消去得，即，从而求得，从而或，从而所求的直线为
或 ……………………………………………………14分
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