《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第六章-第6讲-数学归纳法.docx

第6讲数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN)时命题成立，证明当nk1时命题也成立做一做1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A1B2C3 D0答案：C1辨明两个易误点(1)数学归纳法证题时，误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n2)时，初始值n03.(2)数学归纳法证题的关键是其次步，证题时应留意：必需利用归纳假设作基础；证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；解题时要搞清从nk到nk1增加了哪些项或削减了哪些项2明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不行第一步是递推的基础，其次步是递推的依据，其次步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在nk1时确定要运用它，否则就不是数学归纳法其次步的关键是“一凑假设，二凑结论”做一做2用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增加的代数式是()A2k2 B2k3C2k1 D(2k2)(2k3)答案：D,同学用书P116P117)_用数学归纳法证明等式_用数学归纳法证明：(nN*)证明(1)当n1时，左边，右边.左边右边，所以等式成立(2)假设nk(kN*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立，由(1)、(2)可知，对于一切nN*等式都成立规律方法用数学归纳法证明恒等式应留意：(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时命题的真假(必不行少)(2)“假设nk(kN*，且kn0)时命题成立”并写出命题形式分析“nk1”时命题是什么，然后找出与“nk”时命题形式的差别(3)弄清左端应增加或削减的项，明确等式左端变形目标，把握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不行少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉1.设f(n)1(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)证明：(1)当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立(2)假设nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论照旧成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)_用数学归纳法证明不等式_设数列an满足a12，an1an(n1，2，)证明：an对一切正整数n都成立证明当n1时，a12，不等式成立假设当nk(k1，kN*)时，ak成立那么当nk1时，aa22k32(k1)1.当nk1时，ak1成立综上，an对一切正整数n都成立规律方法数学归纳法证明不等式应留意：(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他方法不简洁证，则可考虑应用数学归纳法；(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可接受分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明2.已知数列an，an0，a10，aan11a.求证：当nN*时，anan1.证明：(1)当n1时，由于a2是方程aa210的正根，所以a1a2.(2)假设当nk(kN*，k1)时，0ak0，得ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立依据(1)和(2)，可知anx4x6，猜想：数列x2n是递减数列下面用数学归纳法证明：当n1时，已证命题成立假设当nk(k1，kN*)时命题成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当nk1时命题也成立结合和知命题成立规律方法“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观看有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探究性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式3.(2021江苏南京模拟)已知数列an满足Snan2n1.(1)写出a1，a2，a3，并推想an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论解：(1)将n1，2，3分别代入可得a1，a2，a3，猜想an2.(2)证明：由(1)得n1时，命题成立假设nk(k1，kN*)时，命题成立，即ak2，那么当nk1时，a1a2akak1ak12(k1)1，且a1a2ak2k1ak，2k1ak2ak12(k1)12k3，2ak122，ak12，即当nk1时，命题也成立依据、得，对一切nN*，an2都成立1假如命题p(n)对nk(kN*)成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2成立，则下列结论正确的是()Ap(n)对全部正整数n都成立Bp(n)对全部正偶数n都成立Cp(n)对全部正奇数n都成立Dp(n)对全部自然数n都成立解析：选B.由题意nk成立，则nk2也成立，又n2时成立，则p(n)对全部正偶数都成立2凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n1条3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的其次步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(其中kN*)B假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(其中kN*)C假设nk时正确，再推nk1时正确(其中kN*)D假设nk时正确，再推nk2时正确(其中kN*)解析：选B.n为正奇数，n2k1(kN*)4在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A. B.C. D.解析：选C.由a1，Snn(2n1)an，求得a2，a3，a4.猜想an.5用数学归纳法证明123n2，则当nk1时，左端应在nk的基础上增加的代数式是_解析：当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k22)(k1)2，当nk1时，左端应在nk的基础上增加(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)26(2021皖南三校联考)设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)_，f(n)_(n1，n是自然数)解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，从而f(n)n2n2.答案：4n2n27(2022高考广东卷)设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由题意知S24a320，S3S2a35a320.又S315，a37，S24a3208.又S2S1a2(2a27)a23a27，a25，a1S12a273.综上知，a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，下面用数学归纳法证明当n1时，结论明显成立；假设当nk(k1，kN*)时，ak2k1，则Sk357(2k1)k(k2)又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k，解得2ak14k6，ak12(k1)1，即当nk1时，结论成立由知，对于nN*，an2n1.8设实数c0, 整数p1，证明：当x1且x0时，(1x)p1px.证明：用数学归纳法证明当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立假设当pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立则当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立9将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜想S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，解：由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1114，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，这就是说，当nk1时，等式也成立依据(1)和(2)，可知对于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立