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姜堰区2021-2022学年度第一学期期中调研测试
高三班级数学试题（理） 2021．11
命题人：史记祥（省姜堰二中） 审核人：王如进 孟太
数学Ⅰ
（本卷考试时间：120分钟 总分160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．若复数（是虚数单位），则的实部为 ▲ ．
2．已知，若，则实数的取值范围为 ▲ ．
3．若样本数据的平均数为，则数据的平均数为 ▲ ．
4．若满足，则的最大值为 ▲ ．
5．依据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ▲ ．
S←1
I←1
While I10
S←S＋2
I←I＋3
End While
Print S
（第5题图）
6．设 ，则“ ”是“ ”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必
要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．
7．袋中有外形、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为 ▲ ．
8．将函数图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度得到函数，则 ▲ ．
9．设的内角的对边分别为，若，则 ▲ ．
10．在中，点满足，若，则 ▲ ．
11．若函数的值域是，则实数的取值范围是 ▲ ．
12．过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为 ▲ ．
13．假如函数在区间单调递减，则的最大值为 ▲ ．
14．设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的有 ▲
（写出全部正确条件的编号）
①；②；③；④；⑤
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值．
16．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知向量．
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值．
17．（本小题满分14分）
已知关于的方程．
（1）若方程的一根在区间内，另一根在区间内，求实数的取值范围；
（2）若方程的两根都在区间，求实数的取值范围．
18．（本小题满分16分）
强度分别为的两个光源间的距离为．已知照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，比例系数为．线段上有一点，设，点处总照度为．试就时回答下列问题．（注：点处的总照度为受光源的照度之和）
（1）试将表示成关于的函数，并写出其定义域；
（2）问：为何值时，点处的总照度最小？
19．（本小题满分16分）
已知是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且
．
（1）求和的通项公式；
（2）设，其前项和为．
①求；
②若对任意恒成立，求的最大值．
20．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）证明：当时，；
（3）确定实数的全部可能取值，使得存在，当时，恒有．
数学Ⅱ
（本卷考试时间：30分钟 总分40分）
21A．（本小题满分10分）
已知分别是内角的对边，已知，，且 求的面积．
21B．（本小题满分10分）
设数列的前项和，且成等差数列，求数列的通项公式．
22．（本小题满分10分）
投资生产产品时，每生产需要资金200万元，需场地200，可获得利润300万元；投资生产产品时，每生产需要资金300万元，需场地100，可获得利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
23．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）求的单调性；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数,都有．
姜堰区2021-2022学年度第一学期期中调研测试
高三班级数学试题（理）参考答案
数学Ⅰ
1.2 2. 3.15 4.2 5.7 6.充分不必要 7. 8.
9.或3 10. 11. 12. 13.18 14. ①②③⑤
15. 解：（1）
-----------4分
所以的最小正周期 -----------7分
（2）由于，所以 -----------9分
所以当，即时 -----------11分
取最小值为 -----------14分
16．解：（1）由于，所以
-----------4分
所以
由于，所以 -----------7分
（2）由
-----------10分
由于，所以 -----------12分
所以，即 -----------14分
17．解：（1）令，由题意可知
，即 -----------4分
解得 -----------7分
（2）由题意可知 -----------10分
解得 -----------14分
18．解：（1）由题意可知：
点处受光源的照度为 -----------2分
点处受光源的照度为 -----------4分
从而，点的总照度为， -----------6分
其定义域为 -----------7分
（2）对函数求导，可得， -----------9分
令，得，
由于，所以，所以，解得 -----------11分
当 -----------13分
因此，时，取得微小值，且是最小值 -----------15分
答：时，点处的总照度最小 -----------16分
19．解：（1）设的公比为，的公差为，由题意，
由已知,有 -----------1分
解得 -----------3分
所以的通项公式为, 的通项公式为----------5分
（2）由（1）有 ，则
----------7分
两式相减得
所以 -----------10分
（3）令
由，得，即
解得对任意成立，即数列为单调递增数列，
所以的最小项为 -----------13分
由于对任意恒成立，所以，
所以的最小值为 -----------16分
20．解：（1）函数的定义域为 -----------1分
对函数求导，得 -----------2分
由，得，解得
故的单调递增区间为 -----------4分
证明：（2）令，
则有 -----------5分
当时，，所以在上单调递减， -----------7分
故当时，，即时， -----------9分
解：（3）由（2）知，当时，不存在满足题意； -----------10分
当时，对于，有，
则，从而不存在满足题意； -----------12分
当时，令
则有
由得，．
解得 -----------14分
所以当时，，故在内单调递增，
从而当时，，即
综上，的取值范围是 -----------16分
数学Ⅱ
21A．解：由题意及正弦定理可知：； -----------3分
由于，由勾股定理得； -----------5分
又，所以解得； -----------7分
所以的面积． -----------10分
21B．解：由已知，
有，
即. -----------5分
从而，
又由于成等差数列，即，
所以，解得； -----------8分
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
故. -----------10分
22.解：设生产A产品百吨，生产B产品百米，利润为S百万元，则
约束条件为 ； -----------3分
目标函数为 . -----------5分
作出可行域，将目标函数变形为
这是斜率为，随S变化的一族直线.是直线在轴上的截距，当最大时，S最大.
由图象可知，使取得最大值的是两直线与的交点
此时 -----------9分
答：生产A产品325吨，生产B产品250米时，获利最大，且最大利润为1475万元. --10分
23.解：（1）由,可得, -----------1分
当 ,即 时,函数 单调递增；
当 ,即 时,函数 单调递减；
所以函数的单调递增区间是 ,单调递减区间是. -----------4分
（2）设 ,则 , -----------5分
曲线 在点P处的切线方程为,
即；
令 即 -----------6分
则；由于在 单调递减，
所以在 单调递减,又由于，
所以当时,,所以当时,, -----------8分
所以 在单调递增,在单调递减,
所以对任意的实数x,，
即对于任意的正实数,都有. ――----10分
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