2021高考数学(文理通用)一轮课时作业17-两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docx

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课时提升作业(十七)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·绍兴模拟)已知cos2θ=23,则sin4θ-cos4θ的值为(　　)
A.23 B.-23 C.1118 D.-29
【解析】选B.sin4θ-cos4θ=(sin2θ+cos2θ)·(sin2θ-cos2θ)=-cos2θ=-23.
2.计算:tan15°+1tan15°=(　　)
A.2 B.2 C.4 D.22
【解析】选C.tan15°+1tan15°
=sin15°cos15°+cos15°sin15°
=sin215°+cos215°sin15°cos15°=2sin30°=4.
3.(2022·杭州模拟)在△ABC中,若cos2B+3cos(A+C)+2=0,则sinB的值是(　　)
A.12 B.22 C.32 D.1
【解析】选A.由cos2B+3cos(A+C)+2=0,得2cos2B-3cosB+1=0,所以cosB=12或cosB=1(舍去).
4.(2022·温州模拟)已知α∈π,32π,cosα=-45,则tanπ4-α等于(　　)
A.7 B.17 C.-17 D.-7
【解析】选B.由于α∈π,32π,cosα=-45,
所以sinα<0,即sinα=-35,tanα=34,
所以tanπ4-α=1-tanα1+tanα=1-341+34=17.
5.(2022·汕头模拟)若1+cos2αsin2α=12,则tan2α等于(　　)
A.54 B.-54 C.43 D.-43
【解析】选D.1+cos2αsin2α=2cos2α2sinαcosα=cosαsinα=12,
所以tanα=2,
所以tan2α=2tanα1-tan2α=41-4=-43.
6.(2021·新课标全国卷Ⅱ)已知sin2α=23,则cos2α+π4=(　　)
A.16 B.13 C.12 D.23
【思路点拨】利用“降幂公式”将cos2α+π4化简,建立与sin2α的关系,可得结果.
【解析】选A.由于cos2α+π4=1+cos2α+π42
=1+cos2α+π22=1-sin2α2,
所以cos2α+π4=1-sin2α2=1-232=16.
7.(2022·金华模拟)已知cosα-π6+sinα=435,则sinα+7π6的值是(　　)
A.-235 B.235 C.-45 D.45
【解析】选C.cosα-π6+sinα
=435⇒32sinα+32cosα
=435⇒sinα+π6=45,
所以sinα+7π6=-sinα+π6=-45.
8.若tanα=lg(10a),tanβ=lg1a,且α+β=π4,则实数a的值为(　　)
A.1 B.110 C.1或110 D.1或10
【思路点拨】利用α+β=π4得tan(α+β)=1,由此构造含有a的方程求解.
【解析】选C.α+β=π4⇒tan(α+β)=1⇒
tanα+tanβ1-tanαtanβ=lg(10a)+lg1a1-lg(10a)·lg1a=1⇒lg2a+lga=0,
所以lga=0或lga=-1,即a=1或a=110.
【加固训练】若a,b是非零实数,且asinπ5+bcosπ5acosπ5-bsinπ5=tan8π15,则ba=　　　　.
【解析】由asinπ5+bcosπ5acosπ5-bsinπ5=tanπ5+ba1-batanπ5,
及tan8π15=tanπ5+π3=tanπ5+tanπ31-tanπ5tanπ3,
得ba=tanπ3=3.
答案:3
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.已知cos(α+β)=16,cos(α-β)=13,则tanαtanβ的值为　　　　　.
【解析】由于cos(α+β)=16,
所以cosαcosβ-sinαsinβ=16.①
由于cos(α-β)=13,
所以cosαcosβ+sinαsinβ=13.②
①+②得cosαcosβ=14.
②-①得sinαsinβ=112.
所以tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=13.
答案:13
10.计算:sin(-250°)cos70°cos2155°-sin225°=　　　　.
【解析】-sin(270°-20°)cos(90°-20°)cos225°-sin225°
=cos20°sin20°cos50°=sin40°2cos50°
=sin(90°-50°)2cos50°=12.
答案:12
11.(2022·台州模拟)设sinπ4+θ=13,sin2θ=　　　　.
【解析】由于sinπ4+θ=13,
即22sinθ+22cosθ=13,
所以sinθ+cosθ=23,
两边平方,得:1+2sinθcosθ=29,
所以sin2θ=-79.
答案:-79
12.函数y=sinπ2x+φ(φ>0)的部分图象如图所示,设P是图象的最高点,A,B是图象与x轴的交点,则tan∠APB=　　　　　.

【解析】过点P作PD⊥AB,垂足为D,则∠APB=∠APD+∠BPD.函数的最大值是1,周期T=2ππ2=4,

则AD=T4=1,BD=3,PD=1,
则tan∠APD=ADPD=1,tan∠BPD=BDPD=3,
所以tan∠APB=tan(∠APD+∠BPD)
=tan∠APD+tan∠BPD1-tan∠APD·tan∠BPD=1+31-1×3=-2.
答案:-2
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.若sin34π+α=513,cosπ4-β=35,且0<α<π4<β<34π,求cos(α+β)的值.
【解析】由于0<α<π4<β<34π,
所以34π<34π+α<π,-π2<π4-β<0.
又sin34π+α=513,cosπ4-β=35,
所以cos34π+α=-1213,sinπ4-β=-45,
所以cos(α+β)=sinπ2+(α+β)
=sin34π+α-π4-β
=sin34π+αcosπ4-β-
cos34π+αsinπ4-β
=-3365.
【方法技巧】
1.给值求值问题的关键
解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.
(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差.
(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系.
2.拼角、凑角的技巧
(1)用已知角表示未知角:
2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β);
α=(α+β)-β=(α-β)+β;
α=α+β2+α-β2,β=α+β2-α-β2;
α-β2=α+β2-α2+β等.
(2)互余与互补关系:
π4+α+π4-α=π2;
π3+α+π6-α=π2;
3π4-α+π4+α=π;
π6+α+5π6-α=π;
…
14.(2022·宁波模拟)已知cosα=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2.
(1)求tan2α的值.
(2)求β.
【解析】(1)由cosα=17,0<α<π2,得sinα=1-cos2α=1-172=437,
所以tanα=sinαcosα=437×71=43,
于是tan2α=2tanα1-tan2α=2×431-(43)2=-8347.
(2)由0<β<α<π2,得0<α-β<π2.
又由于cos(α-β)=1314,
所以sin(α-β)=1-cos2(α-β)=1-13142=3314.
由β=α-(α-β)得:
cosβ=cos[α-(α-β)]
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=17×1314+437×3314=12,
所以β=π3.
15.(力气挑战题)某同学在一次争辩性学习中发觉,以下五个式子的值都等于同一个常数.
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.
(2)依据(1)的计算结果,将该同学的发觉推广为三角恒等式,并证明你的结论.
【解析】(1)选择②式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin15°cos15°
=1-12sin30°=1-14=34.
(2)三角恒等式
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=34.
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+34cos2α+32sinαcosα+14sin2α-32sinαcosα-12sin2α
=34sin2α+34cos2α=34.
【一题多解】本题第(2)问还可用以下方法解答:
三角恒等式为
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=34.
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=1-cos2α2+1+cos(60°-2α)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=12-12cos2α+12+12(cos60°cos2α+
sin60°sin2α)-32sinαcosα-12sin2α
=12-12cos2α+12+14cos2α+34sin2α-34sin2α-14(1-cos2α)
=1-14cos2α-14+14cos2α=34.

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