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课时提升作业(四十一)
一、选择题
1.(2021·西安模拟)正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
(A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)垂直
2.已知命题:①若点P不在平面α内,A,B,C三点都在平面α内,则P,A,B,C四点不在同一平面内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
3.(2021·渭南模拟)空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH是( )
(A)平行四边形 (B)菱形
(C)矩形 (D)正方形
4.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l =M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )
(A)点A
(B)点B
(C)点C但不过点M
(D)点C和点M
5.给出下列命题:
①没有公共点的两条直线平行;
②相互垂直的两条直线是相交直线;
③既不平行也不相交的直线是异面直线;
④不同在任一平面内的两条直线是异面直线.
其中正确命题的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
6.(2021·汉中模拟)下列命题中正确的是( )
①两条异面直线在同一平面内的射影必相交;
②与一条直线成等角的两条直线必平行;
③与一条直线都垂直的两条直线必平行;
④与同一个平面平行的两条直线必平行.
(A)①② (B)①③
(C)②④ (D)以上都不对
7.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列命题,其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α⇒aα;
②a∩b=P,bβ⇒aβ;
③a∥b,aα,P∈b,P∈α⇒bα;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.
(A)①② (B)②③ (C)①④ (D)③④
8.(力气挑战题)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )
(A)不存在 (B)有且只有两条
(C)有且只有三条 (D)有很多条
二、填空题
9.已知异面直线a,b所成角为60°,P为空间任意一点,过P点作直线l使l与a,b都成60°角,则这样的直线l有 条.
10.已知线段AB,CD分别在两条异面直线上,M,N分别是线段AB,CD的中点,则MN (AC+BD)(填“>”“<”或“=”).
11.对于四周体ABCD,下列命题正确的是 (写出全部正确命题的编号).
①相对棱AB与CD所在直线异面;
②由顶点A作四周体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在的直线异面;
④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.
12.(2021·延安模拟)如图，正三棱锥A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，且==λ(λ>0)，设α为异面直线EF与AC所成的角，β为异面直线EF与BD所成的角，则α+β的值为 .
三、解答题
13.如图,在四周体ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于M,RQ,DB的延长线交于N,RP,DC的延长线交于K,求证:M,N,K三点共线.
14.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形,
∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=2,E,F分别是BC,AA1的中点.
求异面直线EF和A1B所成的角.
15.(力气挑战题)在四棱锥P -ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.
若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
答案解析
1.【解析】选A.直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.
2.【解析】选A.当A,B,C三点都在平面α内,且三点共线时,P,A,B,C四点在同一个平面内,故①错误;三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交,但三条直线不在同一平面内,故②错误;两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形,故③错误.
3.【解析】选C.∵空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，且EH=BD，同理可证FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC，∴EHFG，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，
∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH为矩形.
4.【解析】选D.∵ABγ,M∈AB,∴M∈γ.
又α∩β=l,M∈l,
∴M∈β.
依据公理3可知,M在γ与β的交线上.
同理可知,点C也在γ与β的交线上.
5.【解析】选B.没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;相互垂直的两条直线相交或异面,故命题②错;既不平行也不相交的直线是异面直线,不同在任一平面内的两条直线是异面直线,命题③④正确,故选B.
6. 【解析】选D.在正方体A′B′C′D′-ABCD中,
AA′与B′C′是异面直线,
AA′在平面ABCD中的射影是点A,
B′C′在平面ABCD内的射影是直线BC,故①错;
AB,AD与AA′所成的角都是90°,但AB,AD相交于点A,故②③错;
直线A′D′,A′B′都平行于平面ABCD,但它们相交,故④错.
7.【解析】选D.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但aα,
∴①错;当a∩β=P时,②错;如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,
∴由直线a与点P确定唯一平面α.
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β过直线a与点P,
∴β与α重合,∴bα,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.
【误区警示】解答本题时对平面性质不熟、不擅长举出反例是致错的主要缘由.
8.【思路点拨】以A1D1,EF,CD为棱构造平行六面体解决.
【解析】选D.先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线a,b,c,与直线a,b,c都相交的直线有很多条”这个结论的正确性.无论两两异面的三条直线a,b,c的相对位置如何,总可以构造一个平行六面体ABCD -A1B1C1D1,使直线AB,B1C1,DD1分别作为直线a,b,c,在棱DD1的延长线上任取一点M,由点M与直线a确定一个平面α,平面α与直线B1C1交于点P,与直线A1D1交于点Q,则PQ在平面α内,直线PM不与a平行,设直线PM与a交于点N.这样的直线MN就同时与直线a,b,c相交.由于点M的取法有无穷多种,因此在空间同时与直线a,b,c相交的直线有很多条.依题意,不难得知题中的直线A1D1,EF,CD是两两异面的三条直线,由以上结论可知,在空间与直线A1D1,EF,CD都相交的直线有很多条,选D.
【变式备选】如图所示,ABCD -A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
(A)A,M,O三点共线
(B)A,M,O,A1不共面
(C)A,M,C,O不共面
(D)B,B1,O,M共面
【解析】选A.连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,
∴A1,C1,A,C四点共面,∴A1C平面ACC1A1.
∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.
∴A,M,O三点共线.
9.【解析】由于l与a,b所成角都是60°,而60°>30°,且120°角的一半也为60°,故这样的直线l有3条.
答案:3
10.【解析】如图所示,四边形ABCD是空间四边形,而不是平面四边形,要想求MN与AC,BD的关系,必需将它们转化到平面来考虑.取AD的中点为G,再连接MG,NG,在△ABD中,M,G分别是线段AB,AD的中点,则MG∥BD,且MG=BD,同理,在△ADC中,NG∥AC,且NG=AC,又依据三角形的三边关系知,MN<MG+NG,即MN<BD+AC=(AC+BD).
答案:<
11.【解析】由四周体的概念可知,AB与CD所在的直线为异面直线,故①正确;
由顶点A作四周体的高,当四周体ABCD的对棱相互垂直时,其垂足是△BCD的三条高线的交点,故②错误;当DA=DB,CA=CB时,这两条高线共面,故③错误;设AB,BC,CD,DA的中点依次为E,F,M,N,易证四边形EFMN为平行四边形,所以EM与FN相交于一点,易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点,故④正确.
答案:①④
12. 【解析】如图，取线段BC上一点H，使=λ，取BD中点O，连接AO，CO，∴BD⊥AO，BD⊥CO，
∵AO∩CO=O，
∴BD⊥平面AOC，
又∵AC平面AOC，∴BD⊥AC，
∵==λ，∴EH∥AC，
又==λ，∴HF∥BD.
∴∠HEF就是异面直线EF与AC所成的角，∠HFE就是异面直线EF与BD所成的角，∠EHF就是异面直线BD与AC所成的角，∴α=∠HEF，β=∠HFE，∠EHF=，∴α+β=.
答案:
【变式备选】(2021·揭阳模拟)如图,正三棱柱ABC -A1B1C1的各棱长(包括底
面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值
是( )
(A) (B) (C) (D)2
【解析】选B.如图,取AC中点G,连接FG,EG,则FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=BC,故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角),在Rt△EFG中,cos∠EFG===.
13.【证明】∵M∈PQ,
直线PQ平面PQR,M∈BC,直线BC平面BCD,
∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,
即M在平面PQR与平面BCD的交线l上.
同理可证:N,K也在l上,∴M,N,K三点共线.
14.【解析】取AB的中点D,连接DE,DF,则DF∥A1B,
∴∠DFE(或其补角)即为所求.
由题意易知,DF=,DE=1,AE=,
由DE⊥AB,DE⊥AA1得DE⊥平面ABB1A1,
∴DE⊥DF,即△EDF为直角三角形,
∴tan∠DFE===,∴∠DFE=30°,
即异面直线EF和A1B所成的角为30°.
15.【解析】取AB的中点F,连接EF,DF,
∵E为PB中点,
∴EF∥PA,
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角).
在Rt△AOB中,
AO=AB·cos30°==OP,
∴在Rt△POA中,PA=,∴EF=.
∵四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,
∴△ABD为正三角形.
又∵∠PBO=60°,BO=1,
∴PB=2,∴PB=PD=BD,即△PBD为正三角形,
∴DF=DE=,
∴cos∠DEF=
===.
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
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