【全程复习方略】2020-2021学年北师大版高中数学必修一课时作业(二十一)-3.4.2.docx

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课时提升作业(二十一)
换底公式

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.若a>0,a≠1,则logablogac=logcb成立的条件是(　　)
A.b>0,c>0 B.b>1,c>1
C.b>0,c>0且c≠1 D.b>0,b≠1且c>0,c≠1
【解析】选C.由于c为底数,b为真数,故logablogac=logcb成立的条件是b>0,c>0且c≠1.
2.(log29)·(log34)=(　　)
A.14　　　　 B.12　　　　 C.2　　　　 D.4
【解析】选D.原式=lg9lg2·lg4lg3=2lg3·2lg2lg2·lg3=4.
【一题多解】选D.原式=2log23·log24log23=2×2=4.
3.(2022·西安高一检测)若logab·log3a=5,则b=(　　)
A.a3 B.a5 C.35 D.53
【解析】选C.利用换底公式,得lgblga·lgalg3=5,化简得lgblg3=5,即lgb=5lg3,故b=35.
【变式训练】若a,b>0,且a≠1,b≠1,logab=logba,则(　　)
A.a=b B.a=1b
C.a=b或a=1b D.a,b为一切非1的正数
【解析】选C.由于logab=logba,
所以lgblga=lgalgb,即lg2a=lg2b,所以lga=±lgb,
即lga=lgb或lga=lgb-1,得a=b或a=1b.
4.(2022·长春高一检测)已知2x=3y,则xy=(　　)
A.log23 B.log32 C.lg23 D.lg32
【解题指南】先对等式2x=3y两边取常用对数,然后借助对数的换底公式求解.
【解析】选A.对等式2x=3y两边取常用对数,得lg 2x=lg3y,即xlg2=ylg3,所以xy=lg3lg2=log23.
5.(2022·黄冈高一检测)已知函数f(n)=log(n+2)(n+3)(n∈N*),使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)且满足k在区间[1,100]内,则k的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.由于f(n)=log(n+2)(n+3)=lg(n+3)lg(n+2),
所以f(1)·f(2)·…·f(k)=lg4lg3·lg5lg4·lg6lg5·lg7lg6·…·lg(k+3)lg(k+2)=lg(k+3)lg3=log3(k+3).
所以当k分别为6, 24,78时满足题意.
6.已知lg2=a,lg3=b,则用a,b表示log125的值为(　　)
A.1-a2a+b B.1-a2ab C.1-aa+2b D.1-aa2+b
【解题指南】利用换底公式将log125表示成含有lg2与lg3的式子即可解决.
【解析】选A.由于lg2=a,lg3=b,
所以log125=lg5lg12=lg102lg(3×4)=lg10-lg2lg3+lg4
=1-lg2lg3+2lg2=1-a2a+b,故选A.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.1logba,lgalgb,log nbna,logbnan,1-logaba1-logabb(a>0,a≠1,b>0,b≠1,ab≠1,n∈N+)中和logab相等的有　　　　个.
【解析】结合换底公式可知logab=1logba,lgalgb=logba,
log nbna=logba,logbnan=logba,
1-logaba1-logabb=logabab-logabalogabab-logabb=logabblogaba=logab.
故只有两个.
答案：2
8.(2022·宜春高一检测)计算log225·log3(22)·log59的结果为　　　　.
【解析】原式=lg25lg2·lg(22)lg3·lg9lg5
=2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5=6.
答案：6
9.(2022·齐齐哈尔高一检测)已知logax=1,logbx=2,logcx=3,则logabcx=　　　　.
【解析】由已知,有logxa=1,logxb=12,logxc=13.
所以logx(abc)=logxa+logxb+logxc=116.
所以logabcx=611.
答案：611
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.计算：(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).
【解题指南】由于对数的底数不同,先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值.
【解析】原式=
log253+log225log24+log25log28log52+log54log525+log58log5125
=3log25+2log252log22+log253log22log52+2log522log55+3log523log55
=3+1+13log25·(3log52)
=13log25·log22log25=13.
【一题多解】原式
=lg125lg2+lg25lg4+lg5lg8lg2lg5+lg4lg25+lg8lg125
=3lg5lg2+2lg52lg2+lg53lg2lg2lg5+2lg22lg5+3lg23lg5
=13lg53lg23lg2lg5=13.
【拓展延长】对数运算的理论依据及应用技巧
1.对数运算的理论依据
(1)对数的性质:logaa=1,loga1=0(a>0,a≠1).(2)对数恒等式:alogab=b(a>0,a≠1,b>0).(3)对数的运算性质(4)换底公式
2.应用技巧
(1)对数的运算法则的逆用(2)换底公式的两个结论①logab=1logba(a>0,a≠1,b>0且b≠1).②loganbm=mnlogab(a>0,a≠1,n≠0,b>0).
11.光线每通过一块玻璃板,其强度要削减10%,至少要把几块这样的玻璃板重叠起来,才能使通过它们后的光线强度在原强度的13以下?(lg3≈0.4771).
【解析】设光线没有通过任何玻璃板时的强度为m,通过x块玻璃板后其强度为y.
当x=1时,y=0.9m;
当x=2时,y=0.92m;
当x=3时,y=0.93m;
…
则y=0.9xm.
设0.9xm=13m,所以0.9x=13.
所以x=log0.913=lg13lg0.9=lg31-2lg3≈10.4,
即至少要把11块这样的玻璃板重叠起来,才能使通过它们后的光线强度在原强度的13以下.

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.log23·log3m=12,则m=(　　)
A.2　　　　　B.2　　　　　C.4　　　　　D.1
【解题指南】先利用换底公式化简,再借助指数式与对数式的关系求m的值.
【解析】选B.由于log23·log3m=log2m=12,
所以m=212=2,故选B.
2.(2022·商洛高一检测)已知log23=a,log37=b,则log27等于(　　)
A.a+b B.a-b C.ab D.ab
【解析】选C.由于log27=log23·log37=ab,故选C.
3.若P=log23·log34,Q=lg2+lg5,M=e0,N=ln1,则正确的是(　　)
A.P=Q B.M=N
C.Q=M D.N=P
【解析】选C.P=log23·log34=lg3lg2·lg4lg3=2;
Q=lg2+lg5=lg10=1;M=e0=1;N=ln1=0.故选C.
4.(2022·沈阳高一检测)若2.5x=1000,0.25y=1000,则1x-1y=(　　)
A.13 B.3 C.-13 D.-3
【解析】选A.x=log2.51000,y=log0.251000,
所以1x=log10002.5,1y=log10000.25,
所以1x-1y=log10002.5-log10000.25=log100010=13,故选A.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022·南昌高一检测)计算：1+lg2·lg5-lg2·lg 50-log35·log259·lg5
=　　　　　　.
【解析】原式=1+lg2·lg5-lg2(1+lg 5)-lg5lg3·2lg32lg5·lg5=1+lg2·lg5-lg2-
lg2·lg5-lg5=1-(lg2+lg5)=1-lg10=1-1=0.
答案：0
【变式训练】(2022·菏泽高一检测)不用计算器求：
log34273+2log510+log50.25+71-log72.
【解析】原式=log33343+log5(100×0.25)+7÷7log72
=log33-14+log552+72
=-14+2+72
=214.
6.设log89=a,log35=b,则lg2=　　　　.
【解析】由log89=a得log23=32a,所以lg3lg2=3a2,
又由于log35=lg5lg3=b,
所以lg3lg2×lg5lg3=32ab,
所以1-lg2lg2=32ab,
所以lg2=22+3ab.
答案：22+3ab
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2022·汉中高一检测)已知log1227=a,求log616的值.
【解析】由log1227=a,得3lg32lg2+lg3=a,
所以lg2=3-a2alg3.
所以log616=lg16lg6=4lg2lg2+lg3=4×3-a2a1+3-a2a
=4(3-a)3+a.
【拓展延长】不同底数的对数的计算、化简和恒等证明的常用方法
在应用换底公式时,(1)先换底,然后再将底统一.(2)在解题方向还不清楚的状况下,一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底),然后再化简.
8.(2022·西安高一检测)分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60～110为过渡区,110以上为有害区.
(1)依据上述材料,列出声压级y与声压P的函数关系式.
(2)某地声压P=0.002帕,试问该地为以上所说的什么区,声音环境是否优良?
【解析】(1)由已知得y=20lgPP0(其中P0=2×10-5).
(2)当P=0.002时,
y=20lg0.0022×10-5=20lg102=40(dB).
由已知条件知40dB小于60dB,所以此地为噪音无害区,声音环境优良.
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