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万州二中高2022级高三上期开学考试数学试题（理）
时间120分钟 满分 150分
姓名 班级
一选择题本大题共12分,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的
1．已知集合M={x|0＜x≤3}，N={x|x=2k+1，k∈Z}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．φ B．{1，3} C． {1} D．{0，1，3}
2．若复数满足，则的虚部为 （ ）
A ． B． C． D． 4
3．下列命题中是真命题的为（ ）
A、命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的否命题是“若x2-3x+2=0，则x≠1”
B、若p且q为假命题，则p，q均为假命题
C、命题p：∃x0∈R，sin x0＞1，则非p：∀x∈R，sin x≤1
D、“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件
4．函数,集合, ,则由的元素构成的图形面积是（ ）
A.B.C.D.
5．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是 ( )
6．函数的定义域是( )
A. B. C. D.
7．现有四个函数①②，③，④的部分图象如下，但挨次被打乱，则依据图象从左到右的挨次，对应的函数序号正确的一组是( )
A. ④①②③ B.①④③② C.①④②③ D.③④②①
8．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式
恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．函数f（x）=有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）
A．a＜0 B．0＜a＜ C．＜a＜1 D．a≤0或a＞1
10．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：
① ②M={（x，y）|y=ex-2}
③M={（x，y）|y=cosx} ④M={（x，y）|y=lnx}
其中全部“Ω集合”的序号是（ ）
A．②③B．③④C．①②④D．①③④
11．已知函数是定义在上的增函数，函数的图像关于点对称，若任意的、，不等式恒成立，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=
f（c），则a+b+c的取值范围为（ ）
A．（） B．（6，l2） C．（，12） D．（）
二填空题 本大题4小题，每题5分，共20分
13已知，则 。
14若方程2a =|a x-1|（a＞0且a≠1）有两个根，则实数a的取值范围是
15已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．若f(x)= √x (0＜x≤1)，则x∈[-5，-4]时，函数f（x）的解析式为 ．
16如图，点P从点O动身，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为
y=f（x），y=g（x），定义函数h（x）=
{
f(x) ，f(x)≤g(x)
g(x) ，f(x)＞g(x)
对于函数y=h（x），下列结论正确的是 （填序号）
①h（4）= √10 ； ②函数h（x）的图象关于直线x=6对称；
③函数h（x）增区间为（0，5）； ④.函数h（x）值域为[0 ，√13 ]
三解答题 共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17（本小题满分12分）已知命题p,函数在)上是单调减函数，命题q,已知函数的图像在点处的切线恰好与直线平行,且在上单调递减，若命题p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围
18．（本题满分12分）为了在夏季降温存冬季供暖时削减能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建筑隔热层．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建筑成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设为隔热层建筑费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
19（本小题满分12分）已知函数y=f（x），若存在x，使得f（x）=x，则称x是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线y=kx+是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．
20．（本题满分12分）已知函数 ，函数.
（1）求函数与的解析式,并求出，的定义域;
（2）设，试求函数的最值.
21（本小题满分12分）已知函数满足。
（Ⅰ）求的解析式及单调区间；
（Ⅱ）若，求的最大值。
请从下面所给的第22,23,24三题中选定一题作答，多答按所答的第一题评分.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．
（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）当，时，求的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．
（1）写出直线的一般方程和圆的直角坐标方程；
（2）若点坐标为，圆与直线交于，两点，求的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若的解集为，，求证：．
一1--------6BCCBCD 7------12CCAABD
二 13 14 0＜a＜ 15 f(x)=- √-x-4 16①②④
17（本小题满分12分）命题p,函数在)上是单调减函数，命题q,已知函数的图像在点处的切线恰好与直线平行,且在上单调递减，若命题p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围
答案
命题p或q为真,p且q为假,等价于p真q假或者是p假q真.
命题p：对称轴是,递减,1必定是在右侧.就是,p成立的条件是
命题q：过点,有,同时切线与平行,
,
,.
,
,
根为0,,
依据图像有上递减.
,,
q成立的条件就是a属于
然后就是p真q假,数轴上画就有
,,
p假q真,同理有空集
18．（本题满分12分）为了在夏季降温存冬季供暖时削减能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建筑隔热层．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建筑成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设为隔热层建筑费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
【答案】（1），
（2）隔热层修建为厘米时，总费用最小，且最小值为万元
【解析】
试题分析：解决该问题的关键是要明确变量之间的关系，留意利用题中所给的解析式，找出所满足的等量关系，从而求得的值，下一步找出各项费用做和即可，留意自变量的取值范围，对于其次问，相当于求函数的最值，将式子进行构造，应用基本不等式求解即可，留意基本不等式中等号成立的条件．
试题解析：（1）依题意得:
所以 ；
（2），
当且仅当，即时等号成立，
而，所以隔热层修建为5厘米时，总费用最小，且最小值为70万元．
考点：函数的应用题，基本不等式求最值．
19（本小题满分12分）已知函数y=f（x），若存在x，使得f（x）=x，则称x是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线y=kx+是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．
答案
【答案】分析：（Ⅰ）把a=2，b=1代入方程f（x）=x，解出x即可；
（Ⅱ）方程f（x）=x恒有两个不相等的实数根，即方程ax2+（b+1）x+b-2=x恒有两个不相等的实数根，则 对任意b恒成立，依据二次函数的性质可得a的不等式；
（Ⅲ）设函数f（x）的两个不同的不动点为x1，x2，则A（x1，x1），B（x2，x2），且x1，x2是ax2+bx+b-2=0的两个不等实根，则，由题意可得k=-1，且AB中点（-，-）在直线y=kx+上，代入可得a，b的关系式，分别出b后依据a的范围可得b的范围；
解答：解：（Ⅰ） 当a=2，b=1时，f（x）=2x2+2x-1，解2x2+2x-1=x，
解得，
所以函数f（x）的不动点为；
（Ⅱ）由于对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，
所以对于任意实数b，方程f（x）=x恒有两个不相等的实数根，
即方程ax2+（b+1）x+b-2=x恒有两个不相等的实数根，
所以 ，即对于任意实数b，b2-4ab+8a＞0，
所以 ，
解得0＜a＜2；
（Ⅲ）设函数f（x）的两个不同的不动点为x1，x2，则A（x1，x1），B（x2，x2），
且x1，x2是ax2+bx+b-2=0的两个不等实根，所以，
直线AB的斜率为1，线段AB中点坐标为，
由于直线是线段AB的垂直平分线，
所以k=-1，且（-，-）在直线y=kx+上，
则-=+，a∈（0，2），
所以b=-=-，
当且仅当a=1∈（0，2）时等号成立，
又b＜0，
所以实数b的取值范围是[-，0）．
点评：本题考查函数恒成立问题、直线的垂直关系直线方程，考查转化思想，本题的关键是精确 理解不动点的定义．
20．（本题满分12分）已知函数 ，函数.
（1）求函数与的解析式,并求出，的定义域;
（2）设，试求函数的最值.
【答案】（1），；（2）最大值为13，最小值为6
【解析】
试题分析：（1）复合函数求定义域关键在于适当设立新变量；（2）亦求函数的最值，必需先得出其解析式，对于复合函数最值要能整体替换设立新变量
试题解析：（1）设，则,
于是有，，
∴，
依据题意得，
又由得，
∴
（2）∵∴要使函数有意义，
必需∴，
∴ （）
设,则是上增函数,
∴时=6, 时
∴函数的最大值为13，最小值为6．
考点：复合函数定义域、函数最值
21（本小题满分12分）已知函数满足。
（Ⅰ）求的解析式及单调区间；
（Ⅱ）若，求的最大值。
答案
（Ⅰ），
令得：。
，
得：，
在上单调递增，
，，
得：的解析式为，且单调递增区间为，单调递减区间为。
（Ⅱ）得。
①当时，在上单调递增， 时，与冲突；
②当时，，，
得：当时，，
。
令；则，
，，
当时，；
当时，的最大值为。
解析
本题主要考查函数的求导和函数的单调性，利用函数单调性求极值。
（Ⅰ）先对函数求导得。当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。
（Ⅱ）构造函数，求导得。争辩在不同取值的状况下函数的单调性，通过求得函数的极值，求得关于表达式的取值范围，再构造函数，求导取极值，得出的最大值。
请从下面所给的第22,23,24三题中选定一题作答，多答按所答的第一题评分.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当，时，求的长．
（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由圆的性质先证，利用相像三角形性质及角平分线性质可证结论成立；
（Ⅱ）由切割线定理列出方程解之即可．
试题解析：（Ⅰ）连接，由于是圆内接四边形，所以
又∽，即有，
又由于，可得由于是的平分线，所以，从而
（Ⅱ）由条件知，设，
则，依据割线定理得，
即即，解得或（舍去），则．
考点：1．圆及圆的性质；2．三角形内角平分线性质定理及相像三角形．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．
（1）写出直线的一般方程和圆的直角坐标方程；
（2）若点坐标为，圆与直线交于，两点，求的值．
6．（1）直线的一般方程为；；（2）．
【解析】
试题分析：（1）首先联立直线的参数方程并消去参数即可得到其一般方程，然后运用极坐标与直角坐标
转化公式将圆转化为直角坐标方程即可；（2）首先将直线的参数方程直接代入圆的直角坐标方程，
并整理得到关于参数的一元二次方程，由韦达定理可得，最终依据直线的参数方程的几何
意义即可求出所求的值．
试题解析：（1）由得直线的一般方程为
又由得圆C的直角坐标方程为，即．
（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即
由于，故可设是上述方程的两实数根，所以又直线过点，两点对应的参数分别为，所以．
考点：1、参数方程；2、极坐标系；3、直角坐标与极坐标系之间的转化；4、参数方程与一般方程之间的转化；
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若的解集为，，求证：．
（1）；（2）见解析．
【解析】
试题分析：（1）当时，对原函数进行分状况解不等式，得到原不等式的解集；（2）依据的解集为，得到，所以，所以，
利用均值不等式得到，结论得证．
试题解析：（1）当时，不等式为，
不等式的解集为； 5分
（2）即，解得，而解集是，
，解得,所以
所以． 10分
考点：1．含确定值的不等式；2．均值不等式
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