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课时提升作业(五十三)
一、选择题
1.（2021·中山模拟）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上，则p=( )
(A) (B)1 (C)2 (D)3
2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离
是( )
（A）4 （B）6 （C）8 （D）12
3.（2021·深圳模拟）正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为( )
(A)4 (B)8 (C)8 (D)16
4.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M（1,m)(m>0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为( )
(A) (B) (C) (D)
5.（2021·湛江模拟）过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线共有( )
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
6.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为( )
(A)48 (B)56 (C)64 (D)72
7.若双曲线 (a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线x=的焦点分成3∶2的两段，则此双曲线的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
8.（力气挑战题）若已知点Q（4，0）和抛物线y=上一动点P(x,y)，则y+|PQ|最小值为( )
(A)2+2 (B)11 (C)1+2 (D)6
二、填空题
9.以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________.
10.（2021·肇庆模拟）抛物线y=的焦点与双曲线的上焦点重合，则m=________.
11.（力气挑战题）如图，抛物线C1：y2=4x和圆C2：(x-1)2+y2=1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A,B,C,D四点，则的值是__________.
三、解答题
12.求过定点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线的方程.
13.（2021·揭阳模拟）已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2）.
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程.
（2）是否存在平行于OA(O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
14.（2021·韶关模拟）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0,y0）为直线l:y=-m(m＞0)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B.
（1）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并推断直线l与此圆的位置关系.
（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）.
答案解析
1.【解析】选C.由已知（,0）在圆x2+y2+2x-3=0上，所以有即p2+4p-12=0，解得p=2或p=-6（舍去）.
2.【解析】选B.∵点P到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q，则|PQ|等于点P到焦点的距离，而|PQ|=6，所以点P到该抛物线焦点的距离为6.
【方法技巧】抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧
抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化：(1)若求点到焦点的距离，则可联想点到准线的距离；(2)若求点到准线的距离，则经常联想点到焦点的距离.解题时确定要留意.
3.【解析】选B.设其中一个顶点为(x,2)，∵是正三角形,∴，即
∴x=12.
∴除原点外的另外两个顶点是（12，4）与（12，-4），
∴这个正三角形的边长为8.
4.【解析】选A.由已知得1+ =5,∴p=8.
∴y2=16x,又M(1,m)在y2=16x上,
∴m2=16(m>0),∴m=4,
∴M(1,4).
又双曲线的左顶点A(-,0),一条渐近线为
又kAM=,∴解得a=.
5.【解析】选C.作出图形，可知点（0，1）在抛物线y2=4x外.因此，过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条，还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线，因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.
6.【解析】选A.由题不妨设A在第一象限，联立y=x-3和y2=4x可得A(9,6),B(1,-2),而准线方程是
x=-1，所以AP=10,QB=2,PQ=8,
故S梯形APQB＝(AP+QB)·PQ=48.
7.【解析】选D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),
抛物线x=即y2=2bx的焦点F(,0)，
依题意
即得：5b=2c⇒25b2=4c2,
又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,
解得c=
故双曲线的离心率
8.【解析】选D.抛物线的准线是y=1，焦点F(0，3）.用抛物线的定义：设P到准线的距离为d,则y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6,（当且仅当F，Q，P共线时取等号）
故y+|PQ|的最小值是6.
9.【解析】抛物线x2=16y的焦点为(0,4)，准线方程为y=-4,故圆的圆心为（0，4），又圆与抛物线的准线相切，所以圆的半径r=4-(-4)=8,所以圆的方程为x2+(y-4)2=64.
答案：x2+(y-4)2=64
10.【解析】由于抛物线y=的标准方程为x2=16y，焦点坐标为(0，4)，又由于双曲线的上焦点坐标为(0,），依题意有4=，解得m=13.
答案：13
【误区警示】本题易毁灭y=的焦点为（0，）的错误，缘由是对抛物线的标准方程记忆不精确.
11.【解析】由于抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0),
则
∴
∴
答案：1
12.【解析】①若直线的斜率不存在，则过点P（0，1）的直线方程为x=0.
由 得
即直线x=0与抛物线只有一个公共点.
②若直线的斜率存在，设过P点的直线方程为y=kx+1,
由 得k2x2+2(k-1)x+1=0.
当k=0时，解得y=1，即直线y=1与抛物线只有一个公共点.
当k≠0时，Δ=4(k-1)2-4k2=0，解得k=.
即直线y=x+1与抛物线有一个公共点.
综上所述，所求直线方程为
x=0或y=1或y=x+1.
13.【解析】（1）将（1，-2）代入y2=2px，得(-2)2=2p×1,
所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
（2）存在.假设存在符合题意的直线l，
其方程为y=-2x+t.
由 得y2+2y-2t=0.
∵直线l与抛物线C有公共点，
∴Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA与l的距离d=，可得 解得t=±1.
∵∴符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.
14.【解析】（1）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，代入x2=4y,
整理得x2-4kx+4=0，
令Δ=（4k）2-4×4=0，解得k=±1，
代入方程得x=±2,不妨令A（2，1），B（-2，1），
由于M到AB的中点（0，1）的距离为2，
从而过M，A，B三点的圆的方程为x2+(y-1)2=4,
易知此圆与直线l:y=-1相切.
（2）设切点分别为A（x1,y1），B（x2,y2），过抛物线上点A（x1,y1）的切线方程为y-y1=k(x-x1)，代入x2=4y，整理得x2-4kx+4(kx1-y1)=0，
Δ=（4k）2-4×4(kx1-y1)=0，
又由于x12=4y1,所以k=，
从而过抛物线上点A（x1,y1）的切线方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-，
又切线过点M（x0,y0），所以得y0=x0- ①
即y0=x0-y1，
同理可得过点B（x2,y2）的切线为y=x-，
又切线过点M（x0,y0），所以得y0=x0- ②
即y0=x0-y2，
即点A（x1,y1）,B(x2,y2)均满足y0=，
即x0x=2(y0+y)，
故直线AB的方程为x0x=2(y0+y)，
又M（x0,y0）为直线l：y=-m(m＞0)上任意一点，故x0x=2(y-m)对任意x0成立，从而直线AB恒过定点（0,m）.
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