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其次章 2.1 2.1.1 第2课时
一、选择题
1．下列各组中，集合P与M不能建立映射的是( )
A．P＝{0}，M＝∅
B．P＝{1,2,3,4,5}，M＝{2,4,6,8}
C．P＝{有理数}，M＝{数轴上的点}
D．P＝{平面上的点}，M＝{有序实数对}
[答案] A
[解析] 选项A中，M＝∅，故集合P中的元素在集合M中无元素与之对应，故不能建立映射．
2．已知集合A＝{1,2，m}，B＝{4,7,13}，若f：x→y＝3x＋1是从集合A到集合B的映射，则m的值为( )
A．22 B．8
C．7 D．4
[答案] D
[解析] 由题意可知，3m＋1＝13，∴m＝4.
3．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为( )
A．3 B．6
C．9 D．18
[答案] B
[解析] 集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，依据一一映射的定义可知从A到B的一一映射有6个，故选B．
4．已知A＝B＝R，x∈R，y∈R，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] A
[解析] 由题意，得，解得.
∴y＝x－2，
∴5在f下的象是5－2＝3.
5．已知映射f：A→B，即对任意a∈A，f：a→|a|.其中，集合A＝{－3，－2，－1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的对应元素，则集合B中元素的个数是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] A
[解析] |－3|＝|3|，|－2|＝|2|，|－1|＝1，|4|＝4.
由于集合元素具有互异性，故B中共有4个元素，
所以B＝{1,2,3,4}．
6．设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在图中能表示从集合A到集合B的映射的是( )
[答案] D
[解析] A中，y的范围不符；B中，y的范围不符；C不符合映射定义：对于集合A中的每一个元素，在集合B中有惟一元素与之对应．∴选D．
二、填空题
7．已知a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为____________．
[答案] 1
[解析] 由题意知，∴，
∴a＋b＝1.
8．(2022～2021学年度山东济宁市兖州区高一上学期期中测试)设f：x→ax－1为从集合A到集合B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
[答案] 5
[解析] 由题意得2a－1＝3，∴a＝2.
∴f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.
三、解答题
9．下图中①、②、③、④用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应关系是不是映射？是不是函数关系？
[解析] 依据映射定义知：
图①中，通过运算法则“开平方”，违反定义中的A中每个元素在B中有惟一的象，即A中每个元素对应B中的两个象，故这种对应不是映射，当然也不是函数．
图②中，违反A中每一个元素在B中都有惟一元素与之对应，由于6无象，故不是映射，也不是函数．
图③和④都是映射，也是函数关系．
10．设A＝{(x，y)|x∈R、y∈R}，假如由A到A的一一映射，使象集合中的元素(y＋1，x＋2)和原象集合中的元素(x，y)对应．
求：(1)原象(1,2)的象；
(2)象(3，－4)的原象．
[解析] (1)∵x＝1，y＝2，∴y＋1＝3，x＋2＝3，即原象(1,2)的象为(3,3)．
(2)令y＋1＝3，x＋2＝－4，∴y＝2，x＝－6，
∴象(3，－4)的原象为(－6,2).
一、选择题
1．设集合A和集合B都是实数集R，映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素x3－x＋1，则在映射f下，象1的原象所组成的集合是( )
A．{1} B．{0,1，－1}
C．{0} D．{0，－1，－2}
[答案] B
[解析] 由题意可知f(x)＝x3－x＋1.当f(x)＝1时，求x.将各值代入检验可知选B．
2．已知集合A＝N*，B＝{正奇数}，映射f：A→B使A中任一元素a与B中元素2a－1相对应，则与B中元素17对应的A中的元素为( )
A．3 B．5
C．17 D．9
[答案] D
[解析] 由题意，得2a－1＝17，∴a＝9.
3．已知(x，y)在映射f下的象是(2x－y，x－2y)，则原象(1,2)在f下的象为( )
A．(0，－3) B．(1，－3)
C．(0,3) D．(2,3)
[答案] A
[解析] 原象(1,2)在映射f下的象为(0，－3)．
4．为确保信息平安，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规章为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )
A．4,6,1,7 B．7,6,1,4
C．6,4,1,7 D．1,6,4,7
[答案] C
[解析] 由题目的条件可以得到a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23,4d＝28.解得a＝6，b＝4，c＝1，d＝7，故选C．
二、填空题
5．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6,2)在此映射下的原象是(3,1)，则k＝________，b＝________.
[答案] 2 1
[解析] 由题意，得，∴.
6．设集合A和B都是自然数集，映射f：A―→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下象20的原象是__________．
[答案] 4
[解析] 由题意，得2n＋n＝20，∴n＝4.
三、解答题
7．在下面所给的对应中，哪些对应不是集合A到B的映射？说明理由．
[解析] (1)不是集合A到B的映射，由于A中元素0在B中没有元素与之对应．
(2)、(4)、(5)、(6)是集合A到B的映射，由于A中的任意一个元素在B中都有惟一的元素与之对应．
(3)不是集合A到B的映射．由于A中的元素1、4、9在B中都各有两个元素与之对应．
8．在下列各题中，推断下列对应是否为集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝N，B＝N＋，对应法则f：x→|x－1|；
(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，
对应法则f：x→；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝{4,5,6,7}，
对应法则f：x→x＋3.
[解析] (1)集合A＝N中元素1在对应法则f作用下为0，而0∉N＋，即A中元素1在B中没有元素与之对应，故对应法则f不是从A到B的映射．
(2)集合A中元素6在对应法则f作用下为3，而3∉B，故对应法则f不是从A到B的映射．
(3)集合A中的每一个元素在对应法则f作用下，在集合B中都有惟一的一个元素与之对应，所以，对应法则f是从A到B的映射，又B中每一个元素在A中 都有惟一的元素与之对应，故对应法则f：A→B又是一一映射．又A，B是非空数集，因此对应法则f也是从集合A到集合B的函数．
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