高中数学(北师大版)必修四教案：3.3-二倍角公式的两个特殊变式及应用.docx

二倍角公式的两个特殊变式及应用
一、变式
变式1：sin2＝sin2(＋)－cos2(＋)
＝2sin2(＋)－1
＝1－2cos2(＋)．
变式2：cos2＝2sin(＋) cos(＋)＝2sin(＋) sin(－)．
以上两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为(＋)．其实证明只需运用诱导公式再结合倍角公式即可解决．由sin2＝－cos(2＋)＝－cos2(＋)，及cos2＝sin2(＋)，再用倍角公式即可．
二、应用
变式1、2主要用于题中含有2与±问题的转化．
例1 已知cos(＋)＝，求．
分析：本题只需将sin2及sin(－)，运用变式及诱导公式转化成cos(＋)形式即可解决问题．
解：∵cos(＋)＝，由变式1，得
sin2＝1－2cos2(＋)＝．
sin(－)＝cos(＋)＝．
∴ 原式＝．
例2 已知sin(＋x)sin(－x)＝，x∈(，)，求sin4x的值．
分析：本题只需求cos2x即可，又由变式2并结合题意即可解决．
解：由变式2，得
cos2x＝2sin(＋x)sin(－x)＝，又2x∈(，2)，
∴ sin2x＝－＝－．
∴ sin4x＝2sin2xcos2x＝－．
例3 已知x∈(－，)，且sin2x＝2sin(x－)，求x的值．
分析：将角2x与x－统一即可，又运用变式1即可达到目的．
解：由变式1，原方程可化为
1－2cos2(x＋)＝－cos(x＋)．
解得cos(x＋)＝1或cos(x＋)＝－．
又x∈(－，)，
∴x＋＝0或x＋＝，
∴ x＝－或x＝－．