【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-7.docx

第十章 10.7 第七课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝1)等于(　　)
A．0　　　　　　　　　　　　B.
C. D.
答案　D
解析　设失败率为p，则成功率为2p，分布列为

ξ
0
1
P
p
2p
由p＋2p＝1，得p＝，∴2p＝.
2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则a的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　1＝p(ξ＝1)＋p(ξ＝2)＋p(ξ＝3)
＝a[＋()2＋()3]
解得a＝.
3．已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝(k＝1,2，…)．则P(2<ξ≤4)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝.
二、填空题
4．设随机变量X的概率分布为

X
1
2
3
4
P

m

则P＝(|X－3|＝1)＝________.
答案　
解析　＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)
＝＋＝.
5．随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则①x＝________；②P(η>3)＝________；③P(1<η≤4)＝________.
答案　①0　②0.45　③0.45
6．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的分布列为________．
解析　ξ可能取的值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
又P(ξ＝3)＝＝，
∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－－－＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

7.盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的，从盒中任取2个来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，请填写以下ξ的分布列.
ξ
2
3
4
P

答案　
ξ
2
3
4
P

解析　“ξ＝2”表示用完放回后盒中只有2个旧球，所以在取球时已经将原来2个旧球全部取出，
∴P(ξ＝2)＝＝.“ξ＝3”表明原来2个旧球只取1个，
∴P(ξ＝3)＝＝.
“ξ＝4”表明原来2个旧球1个不取．
∴P(ξ＝4)＝＝.
三、解答题
8．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．
解析　本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解．
设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ听从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.它的可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

9.某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染的．对于C，因犯难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)．
解析　随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P

10.有5支不同标价的圆珠笔，分别标有10元、20元、30元、40元、50元．从中任取3支，若以ξ表示取到的圆珠笔中的最高标价，试求ξ的分布列．
解析　ξ的可能取值为30,40,50.
P(ξ＝30)＝＝，P(ξ＝40)＝＝，
P(ξ＝50)＝＝，分布列为
ξ
30
40
50
P

11.从一批含有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列三种状况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列：
(Ⅰ)每次取出的产品都不放回此批产品中；
(Ⅱ)每次取出的产品都马上放回此批产品中，然后再取出一件产品；
(Ⅲ)每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中．
解析　(Ⅰ)随机变量X的取值为1,2,3,4，且有P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
∴X的分布列为
X
1
2
3
4
P

(Ⅱ)Y的取值为1,2,3，…，n，…
且P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝×，P(Y＝3)＝××，……，P(Y＝n)＝()n－1×，(n＝1,2,3……)
∴Y的分布列为
Y
1
2
3
…
n
…
P

×
()2×
…
()n－1×
…
(Ⅲ)Z的取值为1,2,3,4且P(Z＝1)＝，
P(Z＝2)＝×＝
P(Z＝3)＝××＝，
P(Z＝4)＝×××＝，
∴Z的分布列为
Z
1
2
3
4
P

12.某争辩机构预备进行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线老师参与，使有不同版本教材的老师人数如下表所示：
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名老师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的老师发言，设使用人教A版的老师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解析　(1)从50名老师中随机选出2名的方法数为C＝1225.
选出2人使用版本相同的方法数为
C＋C＋C＋C＝350.
故2人使用版本相同的概率为：P＝＝.
(2)∵P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

13.亚洲联合馆(一)与欧洲联合馆(一)分别位于上海世博展馆的A片区与C片区：其中亚洲联合馆(一)包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克斯坦馆、蒙古馆等6个展馆；欧洲联合馆(一)包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、塞浦路斯馆等4个展馆．某旅游团拟从亚洲联合馆(一)与欧洲联合馆(一)中的10个展馆中选择4个展馆参观，参观每一个展馆的机会是相同的．
(1)求选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率；
(2)记X为选择的4个展馆中包含有亚洲联合馆(一)的展馆的个数，写出X的分布列并求X的数学期望．
解析　(1)旅游团从亚洲联合馆一与欧游联合馆一中的10个展馆中选择4个展馆参观的总结果数为C＝210，记大事A为选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆，依题意可知我们必需再从剩下的8个展馆中选择2个展馆，其方法数是C＝28，所以P(A)＝＝.
(2)依据题意可知X可能的取值为0,1,2,3,4.
X＝0表示只参观欧洲联合馆一中的4个展馆，不参观亚洲联合馆一中的展馆，这时P(X＝0)＝＝，
X＝1表示参观欧洲联合馆一中的3个展馆，参观亚洲联合馆一中的1个展馆，这时P(X＝1)＝＝，
X＝2表示参观欧洲联合馆一中的2个展馆，参观亚洲联合馆一中的2个展馆，这时P(X＝2)＝＝，
X＝3表示参观欧洲联合馆一中的1个展馆，参观亚洲联合馆一中的3个展馆，这时P(X＝3)＝＝，
X＝4表示参观亚洲联合馆中的4个展馆，这时P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P

X的数学期望为EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.

拓展练习·自助餐

1．某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
解析　(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2，－3，且
P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，
P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.
由此得X的分布列为：
X
－3
2
5
10
P
0.02
0.08
0.18
0.72
(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4－n件．
由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥，
又n∈N，得n＝3，或n＝4.
所以P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.8192.
故所求概率为0.8192.
2．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列．
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解析　(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P

(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为大事A.“恰好取出1件一等品和2件三等品”为大事A1，“恰好取出2件一等品”为大事A2，“恰好取出3件一等品”为大事A3.由于大事A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.

3．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.
(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则连续进行．求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
解析　(1)记大事A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，所以P(A)＝＝.
(2)ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝·＝，
P(ξ＝3)＝··＝，
P(ξ＝4)＝···＝；
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P

Eξ＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
答：ξ的数学期望为.
4．某地区试行高考改革：在高三学年中进行5次统一测试，同学假如通过其中2次测试即可获得足够学分升上高校连续学习，不用参与其余的测试，而每个同学最多也只能参与5次测试．假设某同学每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔合理，且每次测试通过与否相互独立．
(1)求该生考上高校的概率；
(2)假如考上高校或参与完5次测试就结束高考，记该生参与测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．
解析　(1)记“该生考上高校”为大事A，其对立大事为，则P()＝C×()×()4＋()5＝，
∴P(A)＝1－＝.
(2)参与测试的次数X的可能取值为2,3,4,5，
P(X＝2)＝()2＝，
P(X＝3)＝C×××＝，
P(X＝4)＝C××()2×＝，
P(X＝5)＝C××()3＋()4＝.
故X的分布列为：
X
2
3
4
5
P

EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
即该生考上高校的概率为，所求数学期望是.