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第五章 第3节
一、选择题
1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，
后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.
∵a1a2＝aq＝16>0，∴q>0，∴q＝4.
答案：B
2．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2.a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1.
∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.
又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1·(－2)＜0，∴a1＝1.故an＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－1.
答案：A
3．(2021·成都模拟)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
解析：∵a2＝2，a5＝，∴a1＝4，q＝.
a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．
答案：C
4．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
解析：依据已知条件
得＝3.
整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.
答案：C
5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于( )
A. B.或
C. D．以上都不对
解析：设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a<c<d<b，则a·b＝c·d＝2，a＝，故b＝4，依据等比数列的性质，得到：c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝，n＝c＋d＝3或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则＝或＝.
答案：B
6．已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列的前4项和为( )
A.或4 B.或4
C. D.
解析：设数列{an}的公比为q.
当q＝1时，由a1＝1，得28S3＝28×3＝84.
而S6＝6，两者不相等，因此不合题意．
当q≠1时，由28S3＝S6及首项为1，得＝.解得q＝3.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.
所以数列的前4项和为1＋＋＋＝.
答案：C
二、填空题
7．在数列{an}中，已知a1＝1，an＝2(an－1＋an－2＋…＋a2＋a1) (n≥2，n∈N*)，这个数列的通项公式是________．
解析：由已知n≥2时，an＝2Sn－1 ①
当n≥3时，an－1＝2Sn－2 ②
①－②整理得＝3 (n≥3)，
∴an＝
答案：an＝
8．已知数列{an}是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，其次行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an＝________(n∈N*).
第一列
其次列
第三列
第一行
1
10
2
其次行
6
14
4
第三行
9
18
8
解析：观看题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＝2·3n－1.
答案：2·3n－1
9．(2022·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
解析：在等比数列中，a1a5＝a2a4＝a＝4.由于an>0，所以a3＝2，所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a＝25，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.
答案：5
10．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．
解析：由条件得：f(n)·f(1)＝f(n＋1)，即an＋1＝an·，所以数列{an}是首项与公比均为的等比数列，求和得Sn＝1－n，所以≤Sn<1.
答案：
三、解答题
11．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由已知得.∴a1＝0，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4，∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.
∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2.
∴{bn}的前n项和Tn＝＝
＝2n－1.
12．已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)(an＋2)．若a2，a4，a9成等比数列，求数列{an}的通项公式．
解：由于Sn＝(an＋1)(an＋2)，①
所以当n＝1时，有S1＝a1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或a1＝2；
当n≥2时，有Sn－1＝(an－1＋1)(an－1＋2)．②
①－②并整理，得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0 (n≥2)．
由于数列{an}的各项均为正数，所以an－an－1＝3 (n≥2)．
当a1＝1时，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，此时a＝a2a9成立．
当a1＝2时，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，此时a＝a2a9不成立．
所以a1＝2舍去．故an＝3n－2.
[备课札记]
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