资源描述
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个微小值点
B．有三个极大值点、两个微小极值点
C．有两个极大值点、两个微小值点
D．有四个极大值点、无微小值点
答案 C
2．f′(x0)＝0是f(x)在点x0处取极值的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 f′(x0)＝0不能保证f′(x)在x0左右两边异号，故不能保证有极值，f(x)在x0处有极值必定f′(x0)＝0.
3．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和微小值时的x的值分别为0和，则( )
A．a－2b＝0 B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0
答案 D
解析 y′＝3ax2＋2bx，据题意，
0、是方程3ax2＋2bx＝0的两根，
∴－＝， ∴a＋2b＝0.
4．设a<b，则函数y＝(x－a)2·(x－b)的图像可能是( )
答案 C
解析 f′(x)＝(x－a)(3x－2b－a)．
令f′(x)＝0⇔(x－a)(3x－2b－a)＝0，
得x1＝a，x2＝.
∵a<b，∴a<<b.∴x1<x2.
f′(x)>0⇔x>或x<a.
f′(x)<0⇔a<x<.
函数的大致图像如右：
5．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的减区间是( )
A．(－3,0)和(3，＋∞) B．(－3,0)和(0,3)
C．(－∞，－3)和(3，＋∞) D．(－∞，－3)和(0,3)
答案 D
解析 ∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
∴由题意知，当x<0时，[f(x)g(x)]′>0.
∴f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函数．
又g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.
∴x∈(－∞，－3)时，f(x)g(x)<0；
x∈(－3,0)时，f(x)g(x)>0.
又∵f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴f(x)g(x)在R上是奇函数，其图像关于原点对称．
∴当x>0且x∈(0,3)时，f(x)g(x)<0.
6．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
解析 (1)由已知可得f′(x)＝3x2－3a.由于曲线y＝
f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，
所以即
解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．
当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝±.
当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的微小值点．
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