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课时提升作业(三)
简洁的规律联结词、全称量词与存在量词
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2022·湖北高考)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是( )
A.∀x∉R,x2≠x B.∀x∈R,x2=x
C.∃x0∉R,x02≠x0 D.∃x0∈R,x02=x0
【解析】选D.全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是“∃x0∈R,x02=x0”.
2.(2021·开封模拟)已知命题p,q,“p为真”是“p∧q为假”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由“p为真”知p为假,则“p∧q为假”;反之,若“p∧q为假”,则命题p,q至少有一个为假,从而“p为假”不愿定成立,即“p为真”不愿定成立,因此,“p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.
【加固训练】(2021·成都模拟)已知命题p:∃x0∈R,2-x0>,命题q:∀a∈R+且a≠1,loga(a2+1)>0,则( )
A.命题p∨q是假命题 B.命题p∧q是真命题
C.命题p∨q是假命题 D.命题p∧q是真命题
【解析】选B.对于命题p:∃x0∈R,2-x0>,当x0=0时,此命题成立,故是真命题;命题q:∀a∈R+且a≠1,loga(a2+1)>0,当0<a<1时,对数式的值是负数,故命题q是假命题.由此知命题p∨q是真命题,命题p∧q是真命题,命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,故选B.
3.(2021·长沙模拟)“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )
A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立
B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立
C.∀x∈R,f(x)>0成立
D.∀x∈R,f(x)≤0成立
【解析】选A.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是∃x0∈R,使得f(x0)>0成立,故选A.
4.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,使x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤-2或a=1} B.{a|a≥1}
C.{a|a≤-2或1≤a≤2} D.{a|-2≤a≤1}
【解析】选A.由题意知,p:a≤1,q:a≤-2或a≥1,
由于“p∧q”为真命题,所以p,q均为真命题,
所以a≤-2或a=1.
5.已知命题p:函数y=ax(a>0且a≠1)在R上是增函数,命题q:loga2+log2a≥2(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(p)∧q D.p∨(q)
【解析】选D.当0<a<1时,y=ax在R上是减函数,因此p假,p真,当a=时,loga2+log2a=-2<2,因此q假,q真.从而命题p∨(q)为真命题.
6.下列命题中,真命题是( )
A.∃x0∈[0,],sin x0+cos x0≥2
B.∀x∈(3,+∞),x2>2x+1
C.∃x0∈R,x02+x0=-1
D.∀x∈(,π),tan x>sin x
【解析】选B.对于选项A,∀x∈[0,],sin x+cos x
=sin(x+)≤,
所以此命题为假命题;
对于选项B,当x∈(3,+∞)时,
x2-2x-1=(x-1)2-2>0,
所以此命题为真命题;
对于选项C,∀x∈R,x2+x+1=(x+)2+>0,
所以此命题为假命题;
对于选项D,当x∈(,π)时,tan x<0<sin x,
所以此命题为假命题,故选B.
【加固训练】已知命题p:∃x0∈R,使tan x0=,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},下列结论:
①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧(q)”是假命题;
③命题“(p)∨q”是真命题;
④命题“(p)∨(q)”是假命题.
其中正确的是( )
A.②③ B.①②④
C.①③④ D.①②③④
【解析】选D.命题p是真命题,命题q也是真命题.所以p,q是假命题,从而得①②③④都正确.
7.(2021·葫芦岛模拟)已知f(x)=3sin x-πx,命题p:∀x∈(0,),f(x)<0,则
( )
A.p是假命题,p:∀x∈(0,),f(x)≥0
B.p是假命题,p:∃x0∈(0,),f(x0)≥0
C.p是真命题,p:∀x∈(0,),f(x)>0
D.p是真命题,p:∃x0∈(0,),f(x0)≥0
【解析】选D.由三角函数线的性质可知,
当x∈(0,)时,sin x<x,
所以3sin x<3x<πx,所以f(x)=3sin x-πx<0.
即命题p:∀x∈(0,),f(x)<0为真命题.
依据全称命题的否定为特称命题可知:
p:∃x0∈(0,),f(x0)≥0.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.命题:“对任意k>0,方程x2+x-k=0有实根”的否定是 .
【解析】“任意k>0”的否定为“存在k>0”,“方程x2+x-k=0有实根”的否定为“方程x2+x-k=0无实根”.从而命题的否定为“存在k0>0,方程x2+x-k0=0无实根”.
答案:存在k0>0,方程x2+x-k0=0无实根
9.已知p和q都是命题,则“命题:p∨q为真命题”是“命题:p∧q为真命题”的 条件.(填“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分又不必要”四者之一)
【解析】p∨q为真,二者至少有一个为真,p∧q为真,二者均为真,故“p∨q真”⇐“p∧q真”,所以填“必要不充分”.
答案:必要不充分
10.已知命题p:∃x0∈R,mx02+2≤0,命题q:∀x∈R,x2-2mx+1>0,若“p∨q”为假命题,则实数m的取值范围为 .
【解析】由于命题“p∨q”是假命题,所以命题p,q都是假命题,所以命题p:∃x0∈R,mx02+2≤0是假命题,则m≥0,命题q:∀x∈R,x2-2mx+1>0是假命题,所以Δ=(-2m)2-4≥0,所以m2≥1,得m≤-1或m≥1,所以实数m的取值范围是[1,+∞).
答案:[1,+∞)
(20分钟 40分)
1.(5分)(2022·江西高考)下列叙述中正确的是( )
A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”
B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,有x02≥0”
D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β
【解析】选D.对于选项A,a<0时不成立;
对于选项B,b=0时不成立;
对于选项C,应为x2<0;
对于选项D,垂直于同始终线的两平面平行.所以只有D正确.
【加固训练】(2022·马鞍山模拟)下列命题中,错误的是( )
A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
C.命题p:∃x0∈R,使得x02+x0+1<0,则p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0
D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
【解析】选B.依据逆否命题的定义,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,故A正确;若p∧q为假命题,则p,q至少存在一个假命题,但p,q不愿定均为假命题,故B错误;命题p:∃x0∈R,使得x02+x0+1<0的否定为:任意x∈R,都有x2+x+1≥0,故C正确;由于x>2⇒x2-3x+2>0,x2-3x+2>0⇒x<1或x>2,故“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故D正确.故选B.
2.(5分)(2022·辽宁高考)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(p)∧(q) D.p∨(q)
【解析】选A.当非零向量a,c方向相同且都和非零向量b垂直时,结论a·b=0,b·c=0成立,但是a·c=0不成立,可知命题p是假命题,命题p是真命题;易知命题q为真命题,命题q是假命题.
结合复合命题p∨q,p∧q,p的真假推断方法知,选项A正确.
3.(5分)(2022·新课标全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:
p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中真命题是( )
A.p2,p3 B.p1,p2
C.p1,p4 D.p1,p3
【解题提示】画出可行域,求出x+2y的最优解,依据最优解推断命题的真假.
【解析】选B.画出可行域如图所示,
设x+2y=z,则
当直线经过点(2,-1)时z取得最小值,
zmin=2+2×(-1)=0,即z≥0,
所以命题p1,p2是真命题.
4.(12分)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求a的取值范围.
【解析】由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,所以x=或x=-a,所以当命题p为真命题时,||≤1或|-a|≤1,所以|a|≤2.
又“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”.即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个公共点,
所以Δ=4a2-8a=0,所以a=0或a=2.
所以当命题q为真命题时,a=0或a=2.
由于命题“p∨q”为假命题,所以a>2或a<-2;
即a的取值范围为a>2或a<-2.
5.(13分)(力气挑战题)设a为实数,给出命题p:关于x的不等式≥a的解集为∅,命题q:函数f(x)=lg[ax2+(a-2)x+]的定义域为R,若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求a的取值范围.
【解析】若p正确,则由0<≤1,得a>1.
若q正确,则ax2+(a-2)x+>0解集为R.
当a=0时,-2x+>0不合题意,舍去;
当a≠0时,则解得<a<8.
由题意知,p和q中有且仅有一个正确,
所以或
所以a≥8或<a≤1.
【方法技巧】依据命题真假确定参数取值范围的方法
(1)把所给命题当真求出参数的取值范围.
(2)依据含规律联结词命题的真值表递推所给命题的真假.
(3)由(2)的结果列关于参数的不等式(组),并解之即可.
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