资源描述
课时作业10 数列的综合问题
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．公差不为零的等差数列{an}中，a2、a3、a6成等比数列，则其公比q为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 C
【解析】 ∵等差数列{an}中a2、a3、a6成等比数列，
∴a2a6＝a，
即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2⇒d(d＋2a1)＝0，
∵公差不为零，∴d＝－2a1，
∴所求公比q＝＝＝＝3.
2．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则的值为( )
A．2 B．3
C. D．不存在
【答案】 A
【解析】 由条件a＝a1a4，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，∴a1d＋4d2＝0，
∵d≠0，∴a1＝－4d，
∴＝＝＝2.
3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
【答案】 C
【解析】 本题主要考查等比数列等学问．
设an＝a1qn－1，其中a1>0，q>0，
∴2×a1q2＝a1＋2a1q，即q2－2q－1＝0，
解得q＝＋1，q＝－＋1<0(舍去)，
＝q2＝(＋1)2＝3＋2.
4．(2021·新课标Ⅱ理)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A. B．－
C. D．－
【答案】 C
【解析】 本题考查了等比数列的前n项和通项公式与运算力气．
∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，a3＝9a1，又∵a5＝9，∴9＝a3·q2＝9a1q2，∴a1q2＝1，
由a3＝9a1＝a1·q2，∴q2＝9，故a1＝.
【点评】 解答本题充分运用了等比数列的通项公式和整体代换的方法．
5．已知等比数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn等于( )
A．3n－1 B．3(3n－1)
C. D.
【答案】 D
【解析】 数列{an}的偶数项是以a2＝6为首项，公比为9的等比数列，故新数列的前n项和Sn＝＝.
6．已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为( )
A. B．31
C. D．以上都不正确
【答案】 B
【解析】 设{an}的公比为q，q>0.
由已知得a4＋3a3＝2×5a2＝10a2，
即a2q2＋3a2q＝10a2,2q2＋6q＝20，解得q＝2或q＝－5(舍去)，
则a1＝1，所以S5＝＝＝31.
7．(2021·福建理)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N＋)，则以下结论确定正确的是( )
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2
D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm
【答案】 C
【解析】 bn＝a1qm(n－1)＋a1qm(n－1)＋1＋…＋a1qm(n－1)＋m－1
＝a1qm(n－1)(1＋q＋…＋qm－1)＝a1qm(n－1)·，
∴＝＝qm，
∴{bn}是等比数列，公比为qm，
cn＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1
＝a·qm2(n－1)＋，
∴＝＝qm2，
∴{cn}是等比数列，公比为qm2.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.
【答案】
【解析】 由已知S4－S2＝3a4－3a2，即a4＋a3＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，两边同除以a2得，2q2－q－3＝0，即q＝(q＝－1舍去)．
9．已知数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.
【答案】 100
【解析】 由lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N＋)得lgxn＋1－lgxn＝1，
∴＝10，数列{xn}是公比为10的等比数列，∴xn＋100＝xn·10100，x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100，
∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg10100＝100.
10．定义“等和数列”：在一个数列中，假如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为________．
【答案】 3 Sn＝.
【解析】 本题是信息题，正确理解“新定义”，既要和相关学问联系又要考虑其特点．
由题设a1＋a2＝a2＋a3＝…＝a17＋a18＝…＝a2k－1＋a2k＝a2k＋a2k＋1＝5.
∵a1＝2，∴a2＝3，a3＝2，a4＝3…
当n为奇数时an＝2，当n为偶数时，an＝3.∴a18＝3.
当n是偶数时，有个2，个3，
∴Sn＝·2＋·3＝n.
当n为奇数时，有个3，个2，
∴Sn＝·3＋·2＝.
∴Sn＝.
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】 (1)设数列{an}的公差为d，依题意得方程组
解得a1＝5，d＝4.
所以{an}的通项公式为an＝4n＋1.
(2)由an＝4n＋1得bn＝24n＋1，
由于＝24，
所以{bn}是首项b1＝25，公比q＝24的等比数列．于是得{bn}的前n项和Sn＝＝.
12．(15分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列{}的前n项和Tn.
【解析】 (1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，
故k2＝16，因此k＝4，
从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．
又a1＝S1＝，所以an＝－n.
(2)由于bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.
13．(20分)(2021·江西理)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N＋，都有Tn<.
【解析】 思路分析：(1)将已知Sn的关系式分解因式，先求出Sn，后求an；(2)化简bn用放缩法求Tn的范围．
(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得
[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上，数列{an}的通项an＝2n.
(2)证明：由于an＝2n，bn＝.
则bn＝＝[－]．
Tn＝[1－＋－＋－＋…＋－＋－]
＝[1＋－－]<(1＋)＝.
【点评】 本题考查了数列通项公式．裂项求和与放缩法证明不等式．考查了运算力气和规律思维力气．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
