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第一章 其次节
一、选择题
1．(文)(2022·沈阳市质检)下列命题中，真命题是( )
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1<sinx<1
C．∃x0∈R,2x0<0 D．∃x0∈R，tanx0＝2
[答案] D
[解析] A错误．∵∀x∈R，x2≥0；B错误．∵∀x∈R，－1≤sinx≤1；C错误．∵由y＝2x图象可知∀x0∈R,2x0>0；D正确．
(理)(2021·北京四中期中)下列命题中是假命题的是( )
A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
B．∀a>0，f(x)＝lnx－a有零点
C．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβ
D．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减
[答案] A
[解析] 当φ＝时，f(x)＝sin(2x＋)＝cos2x为偶函数，所以A错误，选A．
2．(文)(2021·山东临沂期中)已知命题p：∀x∈R,3x>0，则( )
A．¬p：∃x0∈R,3x0≤0 B．¬p：∀x∈R,3x≤0
C．¬p：∃x0∈R,3x0<0 D．¬p：∀x∈R,3x<0
[答案] A
[解析] 全称命题的否定是特称命题，所以¬p：∃x0∈R,3x0≤0，选A．
(理)命题“∃x∈R,2x＋x2≤1”的否定是( )
A．∀x∈R,2x＋x2>1，假命题 B．∀x∈R,2x＋x2>1，真命题
C．∃x∈R,2x＋x2>1，假命题 D．∃x∈R,2x＋x2>1，真命题
[答案] A
[解析] 由于x＝0时，20＋02＝1，所以“∀x∈R,2x＋x2>1”是假命题．
3．已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是( )
A．p∧q为真 B．(¬p)∨q为真
C．p∧(¬q)为真 D．(¬p)∧q为真
[答案] C
[分析] 先推断命题p、q的真假，再依据或、且、非的定义及真值表做出推断．
[解析] ∵x∈R，∴2x>0,2－x>0，∴2x＋2－x≥2＝2，∴p为真命题；q为假命题(如y＝为奇函数，但其图象不过原点)，∴p∧q为假，(¬p)∨q为假，p∧(¬q)为真，(¬p)∧q为假，故选C．
4．(2022·唐山市二模)已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋)的图象关于点(，0)对称，则下列命题中的真命题为( )
A．p∧q B．p∧ (¬q)
C．(¬p)∧q D．(¬p)∨(¬q)
[答案] A
[解析] ∵p真，q真，∴p∧q为真，故选A．
5．(2022·郑州市质检)设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题：
①若l⊥α，α⊥β，则l∥β；
②若l∥α，α∥β，则l∥β；
③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；
④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] ①②④中，直线l可能在平面β内，都错误．③正确，故选A．
6．(文)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
[答案] C
[解析] “都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．
(理)下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆否命题为真命题
[答案] D
[解析] A中，否命题应为若x2≠1，则x≠1；B中，x＝－1⇒x2－5x－6＝0，反之则不成立，应为充分不必要条件；C中，命题的否定应为∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.
二、填空题
7．(2022·云南昆明质检)下面有三个命题：
①关于x的方程mx2＋mx＋1＝0(m∈R)的解集中恰有一个元素的充要条件是m＝0或m＝4；
②∃m∈R，使函数f(x)＝mx2＋x是奇函数；
③命题“已知x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1”是真命题．
其中真命题的序号是________．
[答案] ②③
[解析] ①中，当m＝0时，原方程无解，故①是假命题；②中，当m＝0时，f(x)＝x明显是奇函数，故②是真命题；③中，命题的逆否命题“已知x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”为真命题，故原命题为真命题，因此③为真命题．
8．(文)设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2<1.假如“非p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是________．
[答案] (4，＋∞)
[解析] ∵“非p”为真命题，∴p为假命题，又p或q为真命题，∴q为真命题．
若a>1，由loga2<1知a>2，又f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上单调递增，且p为假命题，∴a>4，因此得，a>4；
若0<a<1，则p、q都是真命题，不合题意．
综上，a的取值范围是(4，＋∞)．
(理)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－lnx－a≥0”与命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0－8－6a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，－4]∪[－2，]
[解析] 若p真，则∀x∈[1,2]，(x2－lnx)min≥a，
∵y＝x2－lnx的导数y′＝x－≥0在[1,2]上恒成立，∴当x＝1时，ymin＝，∴a≤；
若q真，则(2a)2－4×(－8－6a)＝4(a＋2)(a＋4)≥0，
∴a≤－4或a≥－2.
∴实数a的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，]．
9．给出下列命题：
①y＝1是幂函数；
②函数f(x)＝2x－log2x的零点有1个；
③(x－2)≥0的解集为[2，＋∞)；
④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件；
⑤函数y＝x3是在O(0,0)处的切线是x轴．
其中真命题的序号是________(写出全部正确命题的序号)．
[答案] ④⑤
[解析] y＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y＝2x与y＝log2x的图象，由两图象没有交点知函数f(x)＝2x－log2x没有零点，②错误；x＝1是不等式(x－2)≥0的解，③错误；x<1⇒x<2，而x<2⇒/ x<1，④正确；y′＝(x3)′＝3x2，∴切线的斜率k＝0，过原点的切线方程为y＝0，⑤正确．
三、解答题
10．(2022·江苏连云港质量调研)已知命题：“∀x∈[－1,1]，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] (1)命题“∀x∈[－1,1]，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，则x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，即集合B＝(2，＋∞)．
(2)对于不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>a＋2，即a>1时，解集A＝(2＋a,3a)，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，即A⊆B成立，∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)．
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊆B成立．此时a＝1.
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝(3a,2＋a)，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，即A⊆B成立，∴3a≥2，此时a∈[，1)．
综合①②③，得a∈[，＋∞)．
一、选择题
11．下列命题中是真命题的是( )
A．若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若a<b，则>
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
D．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝成立
[答案] D
[解析] 对于A，当a⊥b时，a·b＝0也成立，此时不愿定是a＝0或b＝0；
对于B，当a＝0，b＝1时，该命题就不成立；
对于C，b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件；
对于D，由于sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]，且∈[－，]，所以该命题正确．
12．下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；
④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧(¬q)是真命题．其中真命题为( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[答案] A
[解析] 由x2＋2x>4x－3推得x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，故①正确；依据基本不等式可知要使不等式log2x＋logx2≥2成立需要log2x>0，∴x>1，故②正确；由a>b>0得0<<，又c<0，可得>，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p是真命题，命题q是真命题，所以p∧(¬q)为假命题，故④错误．所以选A．
13．(文)(2021·潍坊模拟)已知命题p：∃a0∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12<0的解集是{x|3<x<4}．给出下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)或q”是真命题；④命题“(¬p)或(¬q)”是假命题．其中正确的是( )
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
[答案] D
[解析] 由于命题p和命题q都是真命题，所以命题“p且q”是真命题，命题“p且(¬q)”是假命题，命题“(¬p)或q”是真命题，命题“(¬p)或(¬q)”是假命题．
(理)(2022·乐平模拟)若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A．∀a∈R, f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．∀a∈R, f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．∃a∈R, f(x)是偶函数
D．∃a∈R, f(x)是奇函数
[答案] C
[解析] 明显a＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选C．
14．(2022·开原月考)已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
[答案] A
[解析] 由p∨q为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>－1；再由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立为假命题知m≥2或m≤－2，∴m≥2，故选A．
二、填空题
15．(文)方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不行能为圆；
②若1<t<4，则曲线C为椭圆；
③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<.
其中真命题的序号是______(写出全部正确命题的序号)．
[答案] ③④
[解析] 明显当t＝时，曲线方程为x2＋y2＝，方程表示一个圆；而当1<t<4，且t≠时，方程表示椭圆；当t<1或t>4时，方程表示双曲线，而当1<t<时，4－t>t－1>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故选项为③④.
(理)(2021·长沙调研)下列结论：
①若命题p：∃x∈R，tanx＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(¬q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
[答案] ①③
[解析] ①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧(¬q)为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
16．(2021·扬州模拟)下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题确定为真；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；
③“x>2”是“<”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题确定为真．
其中说法不正确的序号是________．
[答案] ①②
[解析] ①逆命题与逆否命题之间不存在必定的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③若<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．
(1)求证：“假如直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题；
(2)写出(1)中命题的逆命题，推断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解析] (1)证明：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2＝2x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时，直线l与抛物线相交于点A(3，)、B(3，－)．
∴·＝3.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，其中k≠0.
由得ky2－2y－6k＝0，则y1y2＝－6.
又∵x1＝y，x2＝y，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝3.
综上所述，命题“假如直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题．
(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2＝2x于A、B两点，假如·＝3，那么直线过点T(3,0)．
该命题是假命题．
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B，此时·＝3，
直线AB的方程为y＝(x＋1)，而T(3,0)不在直线AB上．
18．(文)已知命题p：在x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．
[解析] ∵x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立，
∴a>＝－x在x∈[1,2]上恒成立，
令g(x)＝－x，则g(x)在[1,2]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝1，
∴a>1.即若命题p真，则a>1.
又∵函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，
∴u(x)＝x2－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)＝x2－2ax＋3a>0在[1，＋∞)上恒成立，
∴a≤1，u(1)>0，∴－1<a≤1，
即若命题q真，则－1<a≤1.
综上知，若命题“p∨q”是真命题，则a>－1.
(理)(2022·浙江绍兴第一中学诊断)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)上单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求a的取值范围．
[解析] 当0<a<1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内递减．
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点等价于(2a－3)2－4>0，即a<或a>.
(1)若p正确，且q不正确，则a∈(0,1)∩[，]，即a∈[，1)；
(2)若p不正确，且q正确，则a∈(1，＋∞)∩[(0，)∪(，＋∞)]，即a∈(，＋∞)．
综上所述，a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)．
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