2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-9-3-Word版含解析.docx

数形结合定圆形，巧设方程求半径
[典例]　(2011·重庆)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．

[审题视角]　如图所示，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心应位于x轴上，同时圆要与抛物线相切．
[解析]　圆心位于x轴上，设圆心坐标为(a,0)(0<a<3)，同时，可设圆的方程为
(x－a)2＋y2＝(3－a)2.
由 消去y得：
x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0.
结合图形可知，当圆的半径最大时，
解得a＝4－，此时所求圆的半径最大为3－a＝－1.
[答案]　－1

1．本题重点考查了数形结合思想在求圆的半径(方程)中的应用．
2．解决本题需要分两步走
第一步：定形，即确定圆的半径最大时圆C的位置和外形．
其次步：定量，在确定圆的位置和外形后，利用待定系数法求出圆的圆心坐标和半径．
3．本题求解过程中易忽视条件3－a<a，忽视这一点，圆C有可能不在题目要求的封闭区域内．

1．(2011·江西，9)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－，)　　　　　　 B．(－，0)∪(0，)
C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：方法一：曲线C1是圆，其标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1,0)，半径为1.曲线C2是两条直线，一条为x轴：y＝0.另一条为过点(－1,0)，斜率为m的直线．当m＝0时不合题意，排解A，C.当|m|较大时，如m＝2，不合题意，排解D.故选B.

方法二：如图，曲线C1是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，当m≠0时，C2为两直线y＝0，y＝m(x＋1)，其中y＝0与圆确定有两个交点，直线y＝m(x＋1)与圆相切时，m＝±，若有两个交点，则m∈(－，0)∪(0，)．故选B.
答案：B
2．(2010·湖北)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是(　　)
A．[1－2，1＋2] B．[1－，3]
C．[－1,1＋2] D．[1－2，3]
解析：∵y＝3－，∴1≤y≤3，
∴(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，
即曲线y＝3－表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆．直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，表示两曲线至少有一个公共点．符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间．

当直线y＝x＋b过点(0,3)时，b＝3；当直线y＝x＋b与圆y＝3－相切时，由点到直线的距离公式，得
2＝，∴|b－1|＝2.
结合图形知b＝1－2.∴1－2≤b≤3.
答案：D