1、第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程全盘巩固1(2022秦皇岛模拟)直线xy10的倾斜角是()A. B. C. D.解析:选D由直线的方程得直线的斜率为k,设倾斜角为,则tan ,所以.2(2022杭州模拟)设aR,则“a4”是“直线l1:ax2y30与直线l2:2xya0平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:选C当a0时,易知两直线不平行;若a0,两直线平行等价于a4,故a4是两直线平行的充要条件3.如图所示,直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k30,k30,k13,所以k2k3
2、.因此,k2k3k1.4直线2xmy13m0,当m变动时,全部直线都通过定点()A. B.C. D.解析:选D由于直线2xmy13m0可化为2x1m(y3)0,令y30,得2x10,即y3,x,因此直线2xmy13m0恒过定点.5直线l1:x3y70,l2:kxy20与x轴的正半轴及y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则k的值为()A3 B3 C1 D2解析:选B依题意可知l1l2,又由于直线l1的斜率为,l2的斜率为k,所以1,解得k3.6(2022温州模拟)在同一平面直角坐标系中,直线l1:axyb0和直线l2:bxya0有可能是()AB C D解析:选B直线l1:axyb0的斜率k1a,
3、在y轴上的截距为b;直线l2:bxya0的斜率k2b,在y轴上的截距为a.在选项A中l2的斜率b0,所以A不正确同理可排解C、D.7已知直线l的倾斜角满足3sin cos ,且它在y轴上的截距为2,则直线l的方程是_解析:由于直线l的倾斜角满足3sin cos ,所以ktan .所以直线l的方程为yx2,即x3y60.答案:x3y608已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是_解析:依题意得AB的方程为1.当x0,y0时,12 ,即xy3(当且仅当x,y2时取等号),故xy的最大值为3.答案:39若三点A(2,3),B(3,2),C共线,则实数m_.解析:
4、kAB1,kAC,A,B,C三点共线,kABkAC,1,解得m.答案:10已知A(1,2),B(5,6),直线l经过AB的中点M,且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程解:法一:设直线l在x轴,y轴上的截距均为a.由题意得M(3,2)若a0,即l过点(0,0)和(3,2),直线l的方程为yx,即2x3y0.若a0,设直线l的方程为1,直线l过点(3,2),1,解得a5,此时直线l的方程为1,即xy50.综上所述,直线l的方程为2x3y0或xy50.法二:易知M(3,2),由题意知所求直线l的斜率k存在且k0,则直线l的方程为y2k(x3),令y0,得x3;令x0,得y23k.323k,解得k
5、1或k,直线l的方程为y2(x3)或y2(x3),即xy50或2x3y0.11设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;(2)若直线l不经过其次象限,求实数a的取值范围解:(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距均为0.即a2,方程为3xy0.当直线不过原点,即a2时,截距存在且均不为0,则a2,即a11,a0,方程为xy20.综上所述,直线l的方程为3xy0或xy20.(2)将直线l的方程化为y(a1)xa2,若直线不过其次象限,则a1.即实数a的取值范围是(,112.如图所示,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45和30角,过点P(1
6、,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线yx上时,求直线AB的方程解:由题意可得kOAtan 451,kOBtan(18030),所以直线lOA:yx,lOB:yx.设A(m,m),B(n,n),所以AB的中点C.由点C在直线yx上,且A,P,B三点共线得解得m,所以A(,)又P(1,0),所以kABkAP,所以lAB:y(x1),即直线AB的方程为(3)x2y30.冲击名校1(2022太原模拟)已知数列an的通项公式为an(nN*),其前n项和Sn,则直线1与坐标轴所围成三角形的面积为()A36 B45 C50 D55解析:选B由an,可知an,Sn1,又知S
7、n,1,即n9.直线方程为1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9),直线与坐标轴所围成的三角形的面积为10945.2.如图,平面直角坐标系内的正六边形ABCDEF的中心在原点,边长为a,AB平行于x轴,直线l:ykxt(k为常数)与正六边形交于M,N两点,记OMN的面积为S,则关于函数Sf(t)的奇偶性的推断正确的是()A确定是奇函数B确定是偶函数C既不是奇函数,也不是偶函数D奇偶性与k有关解析:选B设点M关于原点的对称点为M,点N关于原点的对称点为N,易知点M,N在正六边形的边上当直线l在某一个确定的位置时,对应有一个t值,那么易得直线MN的斜率仍为k,对应的直线MN在y轴上的截距为t,明显OMN的面积等于OMN的面积,因此函数Sf(t)确定是偶函数