2021高考数学(文)一轮知能检测：第8章-第1节-直线的倾斜角与斜率、直线的方程.docx

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[全盘巩固]
1．(2022·秦皇岛模拟)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A. B. C. D.
解析：选D　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，所以α＝.
2．(2022·杭州模拟)设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋2y－3＝0与直线l2：2x＋y－a＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C　当a＝0时，易知两直线不平行；若a≠0，两直线平行等价于＝≠⇔a＝4，故a＝4是两直线平行的充要条件．
3.如图所示，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(　　)

A．k10，k3>0，k1<0.又由于l2、l3的倾斜角α2，α3都是锐角，且α2>α3，所以k2>k3.因此，k2>k3>k1.
4．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，全部直线都通过定点(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由于直线2x－my＋1－3m＝0可化为2x＋1－m(y＋3)＝0，令y＋3＝0，得2x＋1＝0，即y＝－3，x＝－，因此直线2x－my＋1－3m＝0恒过定点.
5．直线l1：x＋3y－7＝0，l2：kx－y－2＝0与x轴的正半轴及y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k的值为(　　)
A．－3 B．3 C．1 D．2
解析：选B　依题意可知l1⊥l2，又由于直线l1的斜率为－，l2的斜率为k，所以－＝－1，解得k＝3.
6．(2022·温州模拟)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

A　　　　　B　　 　　　C　　　 　 　D
解析：选B　直线l1：ax＋y＋b＝0的斜率k1＝－a，在y轴上的截距为－b；直线l2：bx＋y＋a＝0的斜率k2＝－b，在y轴上的截距为－a.在选项A中l2的斜率－b<0，而l1在y轴上截距－b>0，所以A不正确．同理可排解C、D.
7．已知直线l的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在y轴上的截距为2，则直线l的方程是____________．
解析：由于直线l的倾斜角α满足3sin α＝cos α，所以k＝tan α＝＝.所以直线l的方程为y＝x＋2，即x－3y＋6＝0.
答案：x－3y＋6＝0
8．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
解析：依题意得AB的方程为＋＝1.当x>0，y>0时，1＝＋≥2 ＝ ，即xy≤3(当且仅当x＝，y＝2时取等号)，故xy的最大值为3.
答案：3
9．若三点A(2,3)，B(3,2)，C共线，则实数m＝________.
解析：kAB＝＝－1，kAC＝，
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
∴＝－1，解得m＝.
答案：
10．已知A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
解：法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.
由题意得M(3,2)．
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，
∵直线l过点(3,2)，
∴＋＝1，解得a＝5，
此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k.
∴3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
11．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若直线l不经过其次象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0.即a＝2，方程为3x＋y＝0.
当直线不过原点，即a≠2时，截距存在且均不为0，
则＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
若直线不过其次象限，
则∴a≤－1.
即实数a的取值范围是(－∞，－1]．
12.如图所示，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C.
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
[冲击名校]
1．(2022·太原模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则直线＋＝1与坐标轴所围成三角形的面积为(　　)
A．36 B．45 C．50 D．55
解析：选B　由an＝，可知an＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－，
又知Sn＝，∴1－＝，即n＝9.
∴直线方程为＋＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，
∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×9＝45.
2.如图，平面直角坐标系内的正六边形ABCDEF的中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线l：y＝kx＋t(k为常数)与正六边形交于M，N两点，记△OMN的面积为S，则关于函数S＝f(t)的奇偶性的推断正确的是(　　)

A．确定是奇函数
B．确定是偶函数
C．既不是奇函数，也不是偶函数
D．奇偶性与k有关
解析：选B　设点M关于原点的对称点为M′，点N关于原点的对称点为N′，易知点M′，N′在正六边形的边上．当直线l在某一个确定的位置时，对应有一个t值，那么易得直线M′N′的斜率仍为k，对应的直线M′N′在y轴上的截距为－t，明显△OMN的面积等于△OM′N′的面积，因此函数S＝f(t)确定是偶函数．