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高考专题训练
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．(2021·全国卷Ⅱ)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
解析 M＝{x|－1<x<3}，N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A.
答案 A
2．(2021·大纲卷)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 由集合中元素的互异性知M＝{5,6,7,8}，故选B.
答案 B
3．(2021·四川卷)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∀x∈A,2x∉B
B．綈p：∀x∉A,2x∉B
C．綈p：∃x∉A,2x∈B
D．綈p：∃x∈A,2x∉B
解析 全称命题的否定为特称命题，故选D.
答案 D
4．(2021·北京卷)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x过原点，但函数过原点时φ可以取其他值．
答案 A
5．下列命题中错误的是( )
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2中等号成立”的充要条件
C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假
D．对命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0
解析 易知选项A，B，D都正确；选项C中，若p∨q为假命题，依据真值表，可知p，q必都为假，故C错．
答案 C
6．(2021·天津卷)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．其中真命题的序号为( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析 由球的体积公式V＝πR3可得①是真命题；由于标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于与圆的半径相等，所以③是真命题；所以真命题的序号为①③.
答案 C
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．
7．已知命题甲：a＋b≠4，命题乙：a≠1且b≠3，则命题甲是命题乙的________条件．
解析 ∵a＝1或b＝3D⇒\a＋b＝4，且a＋b＝4D⇒\a＝1或b＝3，∴a＝1或b＝3是a＋b＝4的既不充分也不必要条件．由原命题与逆否命题等价可知，“a＋b≠4”是“a≠1且b≠3”的既不充分也不必要条件．
答案 既不充分也不必要
8．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析 “∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2.
答案
9．已知集合A、B，定义集合A与B的一种运算A⊕B，其结果如下表所示：
A
{1,2,3,4}
{－1,1}
{－4,8}
{－1,0,1}
B
{2,3,6}
{－1,1}
{－4，－2,0,2}
{－2，－1,0,1}
A⊕B
{1,4,6}
∅
{－2,0,2,8}
{－2}
依据上述定义，若M＝{－2 011,0,2 012}，N＝{－2 012,0,2 013}，则M⊕N＝________.
解析 由给出的定义知集合A⊕B的元素是由全部属于集合A但不属于集合B和属于集合B但不属于集合A的元素构成的，即A⊕B＝{x|x∈A且x∉B，或x∈B且x∉A}．故M⊕N＝{－2 011,2 012，－2 012,2 013}．
答案 {－2 011,2 012，－2 012,2 013}
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(本小题10分)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
解 若方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，则解得m>2，即p：m>2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，解得1<m<3，即q：1<m<3.因p或q为真，所以p、q至少有一个为真，又p且q为假，所以p、q至少有一个为假．因此，p、q两命题应一真一假，即p真q假，或p假q真．所以或解得m≥3或1<m≤2.
11．(本小题10分)(2021·大连模拟)已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，即p⇒q但qD⇒\p.
∴{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集．
∴解得m≥9.
∴实数m的取值范围为
(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．
解 A＝{x|－1<x≤5}，
(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，
则∁RB＝{x|x≤－1，或x≥3}，
∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．
(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，
故4是方程－x2＋2x＋m＝0的一个根，
∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8.
此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．
因此实数m的值为8.
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