2021届高考理科数学二轮复习专题-提能专训4-第4讲-转化与化归思想Word版含解析.docx

提能专训(四)　转化与化归思想
一、选择题
1．(2022·衡水二调)－＝(　　)
A．4 B．2 C．－2 D．－4
[答案]　D
[解析]　－＝－
＝＝
＝＝－4，故选D.
2．(2022·南昌模拟)已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，若PF1⊥PF2，tan ∠PF2F1＝2，则椭圆的离心率e＝(　　)
A. B. C. D.
[答案]　A
[解析]　由题意可知，∠F1PF2＝90°，不妨设|PF1|＝2，则由tan ∠PF2F1＝2，得|PF2|＝1，从而|F1F2|＝＝，所以离心率e＝＝＝.
3．(2022·福建质检)若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sin πx(0<x<2)的对称中心，则＋的最小值为(　　)
A.＋1 B．4
C．3＋2 D．6
[答案]　C
[解析]　∵y＝1＋sin πx(0<x<2)的对称中心为(1,1)，∴直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过点(1,1)，∴a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当即时取等号．故选C.
4．(2022·益阳质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若asin A＋bsin B－csin C＝asin B．则角C等于(　　)
A. B. C. D.
[答案]　A
[解析]　利用正弦定理，得到a2＋b2－c2＝ab，又a2＋b2－c2＝2abcos C，∴cos C＝，又0<C<π，∴C＝.
5．(2022·泉州质检)已知等比数列{an}的首项a1＝1，公比q≠1，且a2，a1，a3成等差数列，则其前5项的和S5＝(　　)
A．31 B．15 C．11 D．5
[答案]　C
[解析]　∵a2，a1，a3成等差数列，且a1＝1，∴a2＋a3＝2a1＝2，∴a1q＋a1q2＝2，解得q＝－2或q＝1(舍去)，∴S5＝＝＝11.故选C.
6．(2022·兰州、张掖联考)下列5个命题中，正确命题的个数是(　　)
①对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1>0；
②m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0相互垂直的充要条件；
③已知回归直线的斜率的估量值为1.23，样本的中心点为(4,5)，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08；
④若实数x，y∈[－1,1]，则满足x2＋y2≥1的概率为；
⑤曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是S＝

(x－x2)dx.
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案]　A
[解析]　①错，应当是綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0；②错，当m＝0时，两直线也垂直，所以m＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本中心点的坐标代入，满足方程；④错，实数x，y∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2＋y2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x2＋y2≥1的概率为；⑤正确，由定积分的几何意义可知．
7．(2022·锦州模拟)数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋an＋1＋an＋2＝cos(n∈N*)，若数列{an}的前n项和为Sn，则S2 013的值为(　　)
A．2 013 B．671 C．－671 D．－
[答案]　D
[解析]　由于a1＋a2＋a3＝a4＋a5＋a6＝…＝a3n＋1＋a3n＋2＋a3n＋3＝cos＝－，
所以an＋an＋1＋an＋2＝cos(n∈N*)以3为周期，所以S2 013＝671×(a1＋a2＋a3)＝671×＝－，故选D.
8．在△ABC中，AB＝2AC＝2，向量⊥(＋3)，则边BC的值为(　　)
A. B. C. D．6
[答案]　C
[解析]　由于＝－，与＋3垂直，所以·(＋3)＝0，所以(－)·(＋3)＝0，所以·－2＋32－3·＝0，即·＝－，所以||·||cos A＝－，所以cos A＝－，所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2－2|AB|·|AC|cos A＝4＋1＋2×2×1×＝6，所以|BC|＝.故选C.
9．已知函数f(x)＝4sin，f(3α＋π)＝，f＝－，其中α，β∈，则cos(α－β)的值为(　　)
A. B. C. D.
[答案]　D
[解析]　由f(3α＋π)＝，得
4sin＝，
即4sin＝，所以cos α＝，
又α∈，所以sin α＝.
由f＝－，得
4sin＝－，
即sin(β＋π)＝－，所以sin β＝.
又β∈，所以cos β＝.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
10．(2022·吉林试验中学模拟)已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　)
A．[0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)

[答案]　D
[解析]　函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，作出h(x)＝的图象，观看它与直线y＝m的交点，得知当m≤0时或m>1时有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．
11．(2022·长春二次调研)设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 014)2f(x＋2 014)－4f(－2)>0的解集为(　　)
A．(－∞，－2 012) B．(－2 012,0)
C．(－∞，－2 016) D．(－2 016,0)
[答案]　C
[解析]　由2f(x)＋xf′(x)>x2，x<0，得2xf(x)＋x2f′(x)<x3，即[x2f(x)]′<x3<0，令F(x)＝x2f(x)，则当x<0时，F′(x)<0，即F(x)在(－∞，0)上是减函数．由于F(x＋2 014)＝(2 014＋x)2·f(x＋2 014)，F(－2)＝4f(－2)，所以原不等式即为F(2 014＋x)－F(－2)>0.由于F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以由F(2 014＋x)>F(－2)，得2 014＋x<－2，即x<－2 016，故选C.
12．(2022·杭州二检)在△ABC中，若3cos2＋5cos2＝4，则tan C的最大值为(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－2
[答案]　B
[解析]　由已知3cos2＋5cos2＝4，得
3·＋5·＝4，
则3cos(A－B)＋5cos C＝0.
3cos(A－B)－5cos(A＋B)＝0，化简得，cos Acos B＝4sin Asin B，则tan Atan B＝，
由此可知，tan A>0，tan B>0.
又tan C＝－tan(A＋B)＝－
＝－(tan A＋tan B)≤－，
其中tan A＋tan B≥2＝1，
因此tan C的最大值为－，故选B.
二、填空题
13．(2022·大连模拟)设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccos B－bcos C＝a，则＝________.
[答案]　
[解析]　由正弦定理，得
sin Ccos B－sin Bcos C＝sin A，
sin Ccos B－sin Bcos C＝sin(B＋C)，
开放右边并整理，得
2sin Ccos B＝8sin Bcos C，所以＝.
14．(2022·苏州调研)在直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为________．
[答案]　2
[解析]　设P(x，y)，又A(－1,0)，B(0,1)则|PA|2－|PB|2＝(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，化简得x＋y－2＝0.问题可转化为直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4的交点问题．由圆心(0,0)到直线的距离，得d＝＝＜2＝r，所以直线与圆相交，故交点个数为2.
15．(2022·长春调研)已知数列{an}(n＝1,2,3，…，2 012)，圆C1：x2＋y2－4x－4y＝0和圆C2：x2＋y2－2anx－2a2 013－ny＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则{an}的全部项的和为________．
[答案]　4 024
[解析]　设圆C1与圆C2交于A，B两点，则直线AB的方程为：x2＋y2－4x－4y－(x2＋y2－2anx－2a2 013－ny)＝0，化简得，(an－2)x＋(a2 013－n－2)y＝0.
又圆C2平分圆C1的周长，则直线AB过C1(2,2)，将C1(2,2)代入AB的方程得：an＋a2 013－n＝4，
∴a1＋a2＋…＋a2 012＝(a1＋a2 012)＋(a2＋a2 011)＋…＋(a1 006＋a1 007)＝1 006×4＝4 024.
16．(2022·宁德质检)若实数x，y满足1＋cos2πx＝，则x2＋(y＋1)2的最小值为________．
[答案]　2
[解析]　∵1≤1＋cos2πx≤2，∴x＋2y＞0，
又＝x＋2y＋
≥2＝2(当且仅当x＋2y＝1时取等号)，
∴1＋cos2πx＝＝2，
∴
(k∈Z)，
∴x2＋(y＋1)2＝k2＋2＝2＋，∵k∈Z，∴x2＋(y＋1)2≥×2＋＝2，故x2＋(y＋1)2的最小值为2.
三、解答题
17．(2022·南充一诊)已知数列{an}的前n项和Sn＝n－5an－85.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn＝log＋log＋…＋log，求数列的前n项和Tn.
解：(1)由Sn＝n－5an－85，①
可得a1＝S1＝1－5a1－85，a1＝－14，
同时Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85.②
②－①，可得an＋1＝1－5(an＋1－an)，an＋1－1＝(an－1)．
从而{an－1}为等比数列，首项a1－1＝－15，公比为.
故an－1＝－15×n－1，
an＝1－15×n－1.
(2)由(1)知，＝n，
log＝logn＝n，
故bn＝1＋2＋…＋n＝，＝＝2.
故Tn＝2＋＋…＋
＝2＝.
18．(2022·湖北八市联考)已知⊙O：x2＋y2＝6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM上一点，且＝.
(1)求点N的轨迹C的方程；
(2)若A(2,1)，B(3,0)，过B的直线与曲线C相交于D，E两点，则kAD＋kAE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
解：(1)设N(x，y)，P(x0，y0)，则M(x0,0)，＝(0，－y0)，＝(x0－x，－y)，
由＝，得
∴
由于点P在⊙O：x2＋y2＝6上，则有x2＋(y)2＝6，即＋＝1.∴点N的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)设D(x1，y1)，E(x2，y2)，过点B的直线DE的方程为y＝k(x－3)，
由消去y，得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，其中Δ＞0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴kAD＋kAE＝＋
＝＋
＝
＝
＝＝－2，
∴kAD＋kAE是定值－2.